Fiche de coursOption de QRC — catégorie A

Corrélation linéaire : définition, mesure, limites ; droite des moindres carrés

18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Un coefficient de corrélation linéaire nul signifie que les deux caractères sont sans lien.

Deux caractères relevés sur les mêmes individus — le montant d'un dossier et le temps passé à le traiter — forment une série statistique double. Le coefficient de corrélation linéaire mesure à quel point le nuage de points s'aligne ; la droite des moindres carrés en donne la meilleure approximation affine. Le programme de l'option demande la définition, la mesure « et la limite » de ce coefficient : c'est la dernière partie qui distingue une lecture statistique d'un simple calcul.

À retenir

Pour une série double (xi, yi), i de 1 à n, le point moyen est G(x̄ ; ȳ) et la covariance empirique vaut cov(x, y) = (1/n)Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = (1/n)Σxi·yi − x̄·ȳ.
Le coefficient de corrélation linéaire est r = cov(x, y)/(σx·σy). Il est sans unité, compris entre −1 et 1 d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et vaut ±1 exactement quand les points sont alignés.
Le signe de r donne le sens de la liaison, sa valeur absolue l'intensité de la liaison linéaire ; r est inchangé si l'on change d'unité sur x ou sur y, par une transformation affine de pente positive.
La droite des moindres carrés de y en x, y = a·x + b, minimise la somme des carrés des écarts verticaux Σ(yi − a·xi − b)². Elle a pour pente a = cov(x, y)/V(x) et passe par le point moyen : b = ȳ − a·x̄.
r² mesure la part de la variance de y expliquée par l'ajustement affine ; 1 − r² est la part résiduelle.
Limites : r ne mesure que la liaison LINÉAIRE ; il est très sensible aux valeurs extrêmes ; une corrélation ne prouve pas une causalité ; l'ajustement ne vaut pas hors de la plage observée.

Covariance, coefficient de corrélation et droite des moindres carrés

Série fictive de 5 points : x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5. Point moyen G(3 ; 4). Écarts à la moyenne : x − 3 = −2, −1, 0, 1, 2 et y − 4 = −2, 0, 1, 0, 1 ; somme des produits : 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6, d'où cov(x, y) = 6/5 = 1,2. V(x) = 10/5 = 2 et V(y) = 6/5 = 1,2. Donc r = 1,2/√(2 × 1,2) = 1,2/√2,4, environ 0,77.

Sur la même série, la droite des moindres carrés de y en x a pour pente a = 1,2/2 = 0,6 et pour ordonnée à l'origine b = 4 − 0,6 × 3 = 2,2 : y = 0,6x + 2,2. Et r² = 1,44/2,4 = 0,6 : l'ajustement affine explique 60 % de la variance de y.

Contrôle rapide : la droite passe par G, 0,6 × 3 + 2,2 = 4.

Pourquoi −1 ≤ r ≤ 1 : pour tout réel t, la quantité (1/n)Σ[t(xi − x̄) + (yi − ȳ)]² est positive ; elle vaut t²·V(x) + 2t·cov(x, y) + V(y). Ce trinôme en t de signe constant a un discriminant négatif ou nul : cov(x, y)² ≤ V(x)·V(y), d'où r² ≤ 1. L'égalité impose un t tel que t(xi − x̄) + (yi − ȳ) = 0 pour tout i : les points sont alignés.

Les limites du coefficient de corrélation

Liaison non linéaire : x = −2, −1, 0, 1, 2 et y = x² = 4, 1, 0, 1, 4. x̄ = 0 et Σxi·yi = −8 − 1 + 0 + 1 + 8 = 0 : cov(x, y) = 0 et r = 0. Pourtant y est entièrement déterminé par x. Un r nul signifie « pas de liaison linéaire », pas « pas de liaison ».

Sensibilité aux valeurs extrêmes : les points (1 ; 3), (2 ; 1), (3 ; 3), (4 ; 1) donnent r ≈ −0,45. Ajouter le seul point (10 ; 10) donne cov = 118/5 − 4 × 3,6 = 9,2, V(x) = 10, V(y) = 11,04 et r ≈ 0,88 : un point isolé suffit à fabriquer une forte corrélation positive.

Toujours regarder le nuage de points avant de commenter r.

Quatre limites à citer, avec leur parade

Limite	Illustration	Parade
Liaison seulement linéaire	y = x² sur des x symétriques : r = 0	Tracer le nuage, envisager une transformation
Valeurs extrêmes	Un point éloigné fait passer r de −0,45 à 0,88	Repérer les points atypiques, calculer r avec et sans eux
Corrélation n'est pas causalité	Deux grandeurs portées par un même facteur, comme la saison, varient ensemble	Chercher un facteur commun, raisonner sur un mécanisme
Extrapolation	La droite ajustée sur x de 1 à 5 ne dit rien pour x = 50	Limiter les prévisions à la plage observée

Confusions fréquentes

Une corrélation forte ne prouve rien sur la cause: Les ventes de glaces et les noyades augmentent ensemble l'été : r est élevé, mais c'est la chaleur qui agit sur les deux. La corrélation constate une covariation, elle n'en donne pas le mécanisme.
La régression de y en x n'est pas celle de x en y: La droite de y en x minimise les écarts verticaux, celle de x en y les écarts horizontaux ; les deux ne coïncident que si |r| = 1. Les coefficients a de y en x et a' de x en y vérifient a·a' = r².

Plan d'une QRC sur la corrélation : calcul (moyennes, covariance, variances, r), lecture (sens, intensité, r² en pourcentage de variance expliquée), puis limite pertinente pour les données de l'énoncé. La troisième partie compte autant que la première.

Pourquoi la droite des moindres carrés est ce qu'elle est

On cherche a et b minimisant S(a, b) = Σ(yi − a·xi − b)². La dérivée partielle en b s'annule quand Σ(yi − a·xi − b) = 0, c'est-à-dire b = ȳ − a·x̄ : la droite passe par le point moyen. En reportant, S devient Σ[(yi − ȳ) − a(xi − x̄)]², trinôme en a minimal pour a = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)/Σ(xi − x̄)² = cov(x, y)/V(x). La somme minimale vaut n·V(y)·(1 − r²) : elle est nulle si et seulement si |r| = 1.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Un coefficient de corrélation linéaire nul signifie que les deux caractères sont sans lien.Voir le corrigé
Faux
Il signifie l'absence de liaison linéaire : y = x² sur des valeurs de x symétriques autour de 0 donne r = 0 malgré un lien exact.
2.La droite des moindres carrés de y en x passe par le point moyen du nuage.Voir le corrigé
Vrai
La condition sur b, b = ȳ − a·x̄, impose que le point (x̄ ; ȳ) soit sur la droite.
3.Changer l'unité de x, par exemple passer des euros aux milliers d'euros, modifie le coefficient de corrélation.Voir le corrigé
Faux
La covariance et l'écart type de x sont divisés par le même facteur : r, sans unité, est inchangé.
4.Un seul point très éloigné peut rendre fortement positive une corrélation initialement négative.Voir le corrigé
Vrai
Ajouter le point (10 ; 10) à quatre points sans tendance nette fait passer r d'environ −0,45 à environ 0,88.
5.Un coefficient de corrélation linéaire de −0,9 traduit une liaison linéaire peu marquée, puisqu'il est négatif.Voir le corrigé
Faux
Le signe de r donne le sens de la liaison et sa valeur absolue l'intensité : |r| = 0,9 est proche de 1, donc la liaison linéaire est forte, de sens décroissant.

Textes de référence

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