Suites et séries de fonctions : convergences simple, uniforme et normale, interversions
20 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
La convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle entraîne toujours sa convergence simple sur cet intervalle.
Une suite de fonctions peut converger point par point sans que ses bonnes propriétés passent à la limite : des fonctions toutes continues peuvent avoir une limite discontinue, et l'intégrale de la limite peut différer de la limite des intégrales. Le programme de l'option demande de distinguer les modes de convergence — simple, uniforme, et normale pour les séries — et de savoir quand ils autorisent à intervertir limite et continuité, intégrale ou dérivée. Le sujet 2026 portait précisément sur une série de fonctions : convergence simple, convergence normale sur les segments, continuité de la somme.
À retenir
- Convergence simple sur I : pour chaque x de I fixé, la suite de nombres fn(x) converge vers f(x). C'est une convergence point par point, qui ne dit rien de la vitesse d'un point à l'autre.
- Convergence uniforme sur I : le plus grand écart, sup sur I de |fn(x) − f(x)|, tend vers 0. Elle entraîne la convergence simple ; la réciproque est fausse, comme le montre la suite xⁿ sur [0 ; 1].
- Une limite uniforme de fonctions continues est continue. Par contraposée, des fonctions continues dont la limite simple est discontinue ne convergent pas uniformément : c'est le test le plus rapide pour écarter la convergence uniforme.
- Pour des fonctions continues sur un segment [a ; b], la convergence uniforme permet d'intervertir limite et intégrale : l'intégrale de fn tend vers l'intégrale de f. Sans elle, l'égalité peut tomber.
- Pour une série de fonctions Σun, la convergence normale sur I signifie que la série numérique des sup sur I de |un| converge. Elle entraîne la convergence uniforme, donc la convergence simple, et se prouve par une majoration |un(x)| ≤ an valable pour tout x, avec Σan convergente.
- Continuité de la somme : si chaque un est continue et si la série converge uniformément, par exemple normalement, sur chaque segment d'un intervalle, la somme est continue sur tout l'intervalle. La continuité est une propriété locale : un segment autour de chaque point suffit.
- Dérivation terme à terme : si chaque un est de classe C¹, si Σun converge simplement et si la série des dérivées Σun' converge uniformément sur I, la somme est C¹ et sa dérivée est Σun'.
Convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonctions
Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I. Elle converge simplement vers f sur I si, pour tout x de I, fn(x) tend vers f(x) quand n tend vers l'infini. Elle converge uniformément vers f sur I si le nombre ‖fn − f‖∞ = sup sur I de |fn(x) − f(x)| tend vers 0. Pour prouver la convergence uniforme, on calcule ou on majore ce sup par une quantité indépendante de x qui tend vers 0 ; pour la réfuter, on exhibe une suite de points xn où l'écart |fn(xn) − f(xn)| ne tend pas vers 0.
Soit fn(x) = xⁿ sur [0 ; 1]. Pour 0 ≤ x < 1, xⁿ tend vers 0 ; en x = 1, fn(1) = 1 pour tout n. La limite simple f vaut donc 0 sur [0 ; 1[ et 1 en 1 : elle est discontinue en 1, alors que chaque fn est continue. La convergence n'est donc pas uniforme sur [0 ; 1]. En revanche, sur [0 ; a] avec 0 < a < 1, le sup de |xⁿ − 0| vaut aⁿ, qui tend vers 0 : la convergence y est uniforme.
Soit fn(x) = n·x·e^(−nx) sur [0 ; +∞[. En x = 0, fn(0) = 0 ; pour x > 0, n·x·e^(−nx) tend vers 0 par croissances comparées. La limite simple est la fonction nulle. Mais fn(x) = g(nx) avec g(t) = t·e^(−t), dont la dérivée (1 − t)·e^(−t) s'annule en t = 1 : le maximum de fn vaut g(1) = 1/e, atteint en x = 1/n. Le sup de |fn − 0| reste égal à 1/e : pas de convergence uniforme sur [0 ; +∞[. Sur [a ; +∞[ avec a > 0, dès que n ≥ 1/a, fn décroît sur cet intervalle et son sup vaut fn(a) = n·a·e^(−na), qui tend vers 0 : la convergence y est uniforme.
Confusions fréquentes
- Calculer la limite avant d'étudier l'uniformité
- La convergence uniforme se juge par rapport à la limite simple : on détermine d'abord f point par point, puis seulement on étudie le sup de |fn − f|.
- Le sup se calcule sur tout l'intervalle
- Montrer que |fn(x) − f(x)| tend vers 0 pour chaque x ne prouve que la convergence simple. Il faut une majoration indépendante de x, ou le calcul exact du sup.
Ce que la convergence uniforme permet : continuité, intégration, dérivation
| Résultat | Hypothèses | Conclusion |
|---|---|---|
| Continuité de la limite | Chaque fn continue sur I ; convergence uniforme sur I (ou sur tout segment de I) | f est continue sur I |
| Intégration | Chaque fn continue sur le segment [a ; b] ; convergence uniforme sur [a ; b] | L'intégrale de a à b de fn tend vers l'intégrale de a à b de f |
| Dérivation | Chaque fn de classe C¹ sur I ; (fn) converge simplement sur I ; (fn') converge uniformément sur I vers g | f est de classe C¹ et f' = g |
Contre-exemple d'interversion : fn(x) = n·x·e^(−nx²) sur [0 ; 1]. La limite simple est nulle, donc l'intégrale de la limite vaut 0. Mais l'intégrale de 0 à 1 de fn vaut [−e^(−nx²)/2] entre 0 et 1, soit (1 − e^(−n))/2, qui tend vers 1/2. La convergence n'est pas uniforme : le maximum de fn, atteint en x = 1/√(2n), vaut √(n/2)·e^(−1/2) et tend vers l'infini.
Confusions fréquentes
- La dérivation exige l'uniformité sur les dérivées
- La convergence uniforme de (fn) ne suffit pas à dériver la limite : c'est la suite des dérivées (fn') qui doit converger uniformément.
Séries de fonctions : convergence normale et propriétés de la somme
Une série de fonctions Σun converge simplement, ou uniformément, sur I quand la suite de ses sommes partielles Sn = u0 + … + un le fait. Elle converge normalement sur I quand la série numérique Σ sup sur I de |un| converge. En pratique, on cherche une suite de réels positifs (an), indépendante de x, telle que |un(x)| ≤ an pour tout x de I, avec Σan convergente. On a alors la chaîne : convergence normale ⇒ convergence uniforme ⇒ convergence simple, et la convergence normale entraîne aussi la convergence absolue en chaque point.
La série de terme général un(x) = sin(nx)/n², pour n ≥ 1, vérifie |un(x)| ≤ 1/n² pour tout réel x. La série de Riemann Σ1/n² converge, car son exposant 2 est strictement supérieur à 1 : la série converge normalement sur R, donc uniformément. Chaque un étant continue, la somme S est continue sur R.
Exercice n° 1 du sujet de 2026 : un(x) = 2x/(x² + n²π²), pour n ≥ 1 et x réel. Convergence simple : pour x fixé, |un(x)| ≤ 2|x|/(n²π²), terme d'une série de Riemann convergente. Convergence normale sur [−a ; a] : pour tout x de ce segment, |un(x)| ≤ 2a/(n²π²), et Σ2a/(n²π²) converge. Sur R, la dérivée de x ↦ 2x/(x² + n²π²), égale à 2(n²π² − x²)/(x² + n²π²)², s'annule en x = nπ, où la fonction atteint son maximum 1/(nπ) : Σ sup|un| = Σ1/(nπ) diverge, la convergence n'est pas normale sur R. Chaque un étant continue et la convergence normale, donc uniforme, sur chaque segment [−a ; a], la somme U est continue sur chaque segment, donc sur R.
La série géométrique Σxⁿ converge simplement sur ]−1 ; 1[ vers 1/(1 − x), mais pas uniformément : son reste vaut x^(n+1)/(1 − x), non borné au voisinage de 1. Sur tout segment [−a ; a] avec 0 < a < 1, on a |xⁿ| ≤ aⁿ et Σaⁿ converge : la convergence y est normale. La somme est donc continue sur chaque [−a ; a], donc sur ]−1 ; 1[ tout entier.
Dérivation terme à terme : si chaque un est de classe C¹ sur I, si Σun converge simplement sur I et si Σun' converge uniformément sur I — en pratique normalement sur tout segment de I —, alors la somme S est de classe C¹ sur I et S' = Σun'. Par exemple, pour un(x) = e^(−nx)/n² sur ]0 ; +∞[, on a un'(x) = −e^(−nx)/n et, sur [a ; +∞[ avec a > 0, |un'(x)| ≤ e^(−na) : la série géométrique de raison e^(−a) < 1 converge, d'où la convergence normale des dérivées et le caractère C¹ de S sur ]0 ; +∞[.
Confusions fréquentes
- Convergence uniforme n'implique pas convergence normale
- La série des fonctions constantes un(x) = (−1)ⁿ/n converge uniformément sur R, son reste étant majoré par 1/(n + 1) d'après le critère des séries alternées, mais Σ sup|un| = Σ1/n diverge : pas de convergence normale.
- Raisonner sur les segments quand l'intervalle est ouvert
- Sur ]−1 ; 1[ ou ]0 ; +∞[, la convergence normale échoue souvent sur l'intervalle entier mais tient sur chaque segment intérieur ; cela suffit pour la continuité et la dérivabilité, qui sont des propriétés locales.
Plan type d'une QRC sur une série de fonctions : convergence simple (x fixé), convergence normale par une majoration indépendante de x sur un segment bien choisi, puis théorème de continuité ou de dérivation appliqué segment par segment. Écrire chaque hypothèse vérifiée avant de conclure.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle entraîne toujours sa convergence simple sur cet intervalle.Voir le corrigé
Vrai
Si le sup des écarts tend vers 0, l'écart en chaque point, qui lui est inférieur, tend aussi vers 0.
2.La suite de fonctions xⁿ converge uniformément sur [0 ; 1].Voir le corrigé
Faux
Sa limite simple est discontinue en 1 alors que chaque xⁿ est continue : la convergence ne peut pas être uniforme sur [0 ; 1].
3.Une série de fonctions qui converge normalement sur un intervalle y converge uniformément.Voir le corrigé
Vrai
Le reste est majoré, pour tout x, par le reste de la série numérique des sup, qui tend vers 0 : c'est la convergence uniforme.
4.Si une suite de fonctions de classe C¹ converge uniformément, sa limite est toujours dérivable, de dérivée la limite des dérivées.Voir le corrigé
Faux
Le théorème de dérivation demande la convergence uniforme de la suite des dérivées, pas seulement celle des fonctions.
5.Pour une série de fonctions continues sur ]0 ; +∞[, une convergence normale sur chaque segment [a ; b] inclus dans ]0 ; +∞[ suffit à établir la continuité de la somme.Voir le corrigé
Vrai
La continuité est locale : chaque point de ]0 ; +∞[ est intérieur à un tel segment, sur lequel la somme est continue.
6.Une série de fonctions qui converge uniformément sur R converge nécessairement normalement sur R.Voir le corrigé
Faux
La série des constantes (−1)ⁿ/n converge uniformément sur R sans converger normalement, puisque Σ1/n diverge.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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