Moyenne, médiane, dispersion, représentations graphiques, courbe de Lorenz et coefficient de Gini
15 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Sur une courbe de Lorenz, la diagonale représente l'équirépartition parfaite.
La notion sur la moyenne, la médiane et la dispersion pose les repères numériques d'une série statistique ; celle-ci les prolonge par leur mise en image et par l'outil spécifique de la mesure des inégalités de revenu ou de patrimoine : la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini. S'y ajoutent les déciles, qui affinent les quartiles déjà vus, et une question que pose toute lecture de document : quel graphique choisir pour quelle donnée.
À retenir
- La courbe de Lorenz cumule, en abscisse, le pourcentage de la population classée de la plus modeste à la plus aisée, et, en ordonnée, le pourcentage cumulé du revenu (ou du patrimoine) qu'elle détient.
- La diagonale du carré, ou bissectrice, représente l'équirépartition parfaite : x % de la population y détient toujours x % du revenu. Plus la courbe s'en écarte, plus la répartition est inégale.
- Le coefficient de Gini vaut deux fois l'aire comprise entre la courbe de Lorenz et la diagonale ; il varie de 0 (égalité parfaite) à 1 (une seule personne détient tout le revenu).
- En France, l'indice de Gini des niveaux de vie (revenu disponible, après redistribution) atteint 0,302 en 2024, son maximum depuis 1996 (Insee), nettement inférieur à celui du revenu avant redistribution : l'écart mesure l'effet des impôts et des prestations sociales.
- Les déciles partagent une série ordonnée en dix parties égales ; le rapport interdécile D9/D1 compare le seuil des 10 % les plus aisés au seuil des 10 % les plus modestes ; il vaut 3,48 en France pour les niveaux de vie de 2024 (Insee).
- Choisir le bon graphique dépend de la question posée : histogramme pour une distribution de fréquences, courbe de Lorenz pour des inégalités cumulées, diagramme en barres pour comparer des catégories, diagramme en ligne pour une évolution dans le temps.
Construire et lire une courbe de Lorenz
Construire une courbe de Lorenz suppose de classer toute la population du revenu le plus bas au plus élevé, puis de porter en abscisse le pourcentage cumulé de population et en ordonnée le pourcentage cumulé de revenu que cette fraction détient collectivement. Chaque point répond à la question : quelle part du revenu total les x % les plus modestes détiennent-ils ensemble ?
Dans une répartition fictive en cinq tranches de 20 % de la population, les parts de revenu détenues valent successivement 8 %, 13 %, 18 %, 24 % et 37 % : cumulées, elles donnent 8 %, 21 %, 39 %, 63 % et 100 %. Les 40 % les plus modestes ne détiennent donc que 21 % du revenu total, loin des 40 % qu'ils détiendraient à l'égalité parfaite.
| Tranche de population (revenu croissant) | Part de la population cumulée | Part du revenu cumulée |
|---|---|---|
| Les 20 % les plus modestes | 20 % | 8 % |
| Les 40 % les plus modestes | 40 % | 21 % |
| Les 60 % les plus modestes | 60 % | 39 % |
| Les 80 % les plus modestes | 80 % | 63 % |
| 100 % de la population | 100 % | 100 % |
Le coefficient de Gini : calcul et interprétation
L'aire totale sous la diagonale d'équirépartition vaut toujours 0,5 : c'est l'aire d'un triangle de base 1 et de hauteur 1. Le coefficient de Gini se définit comme deux fois l'aire comprise entre la diagonale et la courbe de Lorenz observée, ce qui le ramène toujours entre 0, égalité parfaite où la courbe coïncide avec la diagonale, et 1, inégalité extrême où une seule personne détiendrait tout le revenu.
Pour la répartition fictive en cinq tranches ci-dessus, l'aire sous la courbe de Lorenz, approximée en additionnant les trapèzes formés par les cinq tranches, vaut environ 0,362. L'aire entre la courbe et la diagonale vaut donc 0,5 − 0,362 = 0,138, et le coefficient de Gini vaut deux fois cette aire, soit environ 0,276.
| Valeur | Interprétation |
|---|---|
| 0 | Égalité parfaite : chaque fraction de la population détient une part égale du revenu |
| Proche de 0,3 | Inégalité modérée : 0,302 pour les niveaux de vie en France en 2024 (Insee) |
| Proche de 0,5 et au-delà | Inégalité marquée |
| 1 | Inégalité extrême : une seule personne détient tout le revenu |
Confusions fréquentes
- Un Gini proche de 0 ne dit rien sur le niveau des revenus
- Le coefficient mesure une répartition, pas un niveau : deux pays aux revenus moyens très différents peuvent afficher un coefficient de Gini identique.
- La courbe de Lorenz se lit en cumulé, jamais tranche par tranche isolée
- Un point de la courbe donne la part de revenu détenue par les x % les plus modestes cumulés, pas par la seule tranche qui vient d'être ajoutée.
- S'écarter de la diagonale signale une inégalité, pas une erreur de calcul
- Une courbe qui s'incurve sous la diagonale est le résultat normal d'une répartition inégale ; seule une courbe confondue avec la diagonale traduit l'égalité parfaite.
- Le rapport interdécile n'est pas le coefficient de Gini
- Le rapport D9/D1 ne compare que deux seuils extrêmes de la distribution ; le coefficient de Gini résume, lui, toute la courbe de Lorenz.
Déciles et rapport interdécile
Les déciles partagent une série ordonnée en dix parties de même effectif, en complément des quartiles déjà vus dans la notion sur la dispersion. Le premier décile D1 est le seuil en dessous duquel se situent les 10 % les plus modestes ; le neuvième décile D9, le seuil au-dessus duquel se situent les 10 % les plus aisés. Le rapport interdécile D9/D1 compare ces deux seuils.
Si le premier décile de niveau de vie mensuel vaut 1 200 € et le neuvième 3 600 €, le rapport interdécile vaut 3 600 ÷ 1 200 = 3 : les 10 % les plus aisés disposent d'un niveau de vie au moins trois fois supérieur au seuil que 10 % de la population n'atteint pas.
| Indicateur | Définition |
|---|---|
| D1 | Seuil en dessous duquel se situent les 10 % les plus modestes |
| D5 | La médiane : cinquième décile |
| D9 | Seuil au-dessus duquel se situent les 10 % les plus aisés |
| Rapport interdécile D9/D1 | Écart entre le haut et le bas de la distribution, hors valeurs extrêmes |
Pour l'oral, comparer les deux outils : le rapport interdécile est plus intuitif à présenter (« en 2024, le seuil d'entrée des 10 % les plus aisés vaut près de trois fois et demie celui des 10 % les plus modestes »), le coefficient de Gini est plus complet mais plus abstrait à expliquer.
Choisir le bon graphique
| Donnée à représenter | Graphique adapté | Pourquoi |
|---|---|---|
| Répartition d'un total entre quelques catégories | Diagramme en secteurs, avec prudence au-delà de quatre ou cinq catégories | Visualise des parts d'un tout |
| Comparaison de valeurs entre catégories | Diagramme en barres | Facilite la comparaison directe des hauteurs |
| Évolution dans le temps | Diagramme en ligne (chronogramme) | Montre la tendance et les ruptures d'une série |
| Distribution d'une variable continue en classes | Histogramme | Montre la fréquence de chaque classe, barres jointives sans discontinuité |
| Inégalité cumulée d'une répartition (revenu, patrimoine) | Courbe de Lorenz | Compare directement la répartition observée à l'équirépartition |
Un diagramme en barres dont l'axe des valeurs ne commence pas à zéro exagère visuellement les écarts entre catégories : un classique des documents qui cherchent à impressionner plutôt qu'à informer, à repérer avant toute lecture.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Sur une courbe de Lorenz, la diagonale représente l'équirépartition parfaite.Voir le corrigé
Vrai
Chaque fraction de la population y détient exactement une part égale de revenu, ce qui matérialise l'égalité parfaite.
2.Le coefficient de Gini vaut 1 en cas d'égalité parfaite.Voir le corrigé
Faux
C'est l'inverse : 0 correspond à l'égalité parfaite, 1 à l'inégalité extrême où une seule personne détient tout le revenu.
3.Le rapport interdécile D9/D1 compare le seuil des 10 % les plus aisés à celui des 10 % les plus modestes.Voir le corrigé
Vrai
Il rapporte le neuvième décile au premier, sans tenir compte de ce qui se passe entre ces deux seuils de la distribution.
4.Dans un histogramme, des espaces séparent les barres pour distinguer des catégories qualitatives.Voir le corrigé
Faux
C'est le diagramme en barres qui sépare ainsi des catégories distinctes ; l'histogramme représente une distribution continue en classes jointives, sans espace entre les rectangles.
5.La courbe de Lorenz se lit tranche par tranche, indépendamment des tranches précédentes.Voir le corrigé
Faux
Elle se lit en cumulé : chaque point donne la part de revenu détenue par toutes les tranches inférieures ou égales prises ensemble.
6.Le coefficient de Gini du revenu disponible est généralement inférieur à celui du revenu avant redistribution.Voir le corrigé
Vrai
L'écart entre les deux mesure l'effet réducteur des impôts et des prestations sociales sur les inégalités de revenu marchand.
Textes de référence
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Insee — statistiques et chiffres clés (population, emploi, prix) — Insee (nouvel onglet)
- Fiches thématiques vie-publique.fr (institutions, finances publiques, Union européenne) — DILA — vie-publique.fr (nouvel onglet)
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