Fiche de coursOption de QRC — catégorie B

Opérations et priorités, multiples et nombres premiers, fractions, puissances, racines carrées, conversions, ensembles de nombres de ℕ à ℝ

16 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels.

Les deux premières parties du programme de l'option (arithmétique, début de l'algèbre) reprennent le calcul du collège et les ensembles de nombres de la seconde. En QRC, on ne demande pas seulement le résultat : il faut le présenter sous la forme attendue (fraction irréductible, écriture scientifique, unité demandée) et justifier chaque étape. Cette fiche rassemble ce qui se calcule sans calculatrice — priorités, fractions, puissances, racines carrées — et ce qui se démontre en trois lignes : qu'un nombre est ou n'est pas décimal, qu'un nombre est premier, qu'un carré impair est impair.

À retenir

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Un décimal s'écrit a/10ⁿ avec a entier relatif ; un rationnel p/q avec p entier relatif et q entier naturel non nul ; un réel non rationnel est irrationnel (√2, π).
Une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 : 3/8 = 0,375 est décimal, 1/3 ne l'est pas.
Priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite. −3² = −9 mais (−3)² = 9.
Un entier p ≥ 2 est premier s'il n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même ; pour le vérifier, on teste les nombres premiers dont le carré est inférieur ou égal à p.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1 (a ≠ 0). Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Pour a ≥ 0 et b > 0 : √(ab) = √a × √b et √(a/b) = √a/√b. En revanche √(a + b) n'est pas √a + √b, et √(a²) = |a|.
Conversions : 1 m³ = 1 000 L, 1 km/h = 1/3,6 m/s ; à l'échelle 1/25 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m.

Les ensembles de nombres, de ℕ à ℝ

Chaque ensemble contient le précédent

Ensemble	Définition	Exemples	Contre-exemple
ℕ, entiers naturels	0, 1, 2, 3…	0 ; 12/4 = 3 ; √49 = 7	−7
ℤ, entiers relatifs	Entiers positifs ou négatifs	−7 ; 0 ; 15	3/8
𝔻, décimaux	a/10ⁿ, a ∈ ℤ, n ∈ ℕ	3/8 = 375/1 000 ; −2/5 = −0,4	1/3
ℚ, rationnels	p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ non nul	1/3 = 0,333… ; 2/7	√2
ℝ, réels	Abscisses des points d'une droite graduée	√5 ; π ; −1,25	—

Pour classer un nombre, on le simplifie d'abord : 12/4 = 3 est un entier naturel même s'il est écrit comme une fraction, √49 = 7 aussi. On le range ensuite dans le plus petit ensemble qui le contient. Une fraction irréductible p/q est décimale exactement quand q ne contient que les facteurs premiers 2 et 5 : on peut alors multiplier numérateur et dénominateur pour obtenir une puissance de 10.

1/3 n'est pas décimal. Supposons 1/3 = a/10ⁿ avec a entier. Alors 3a = 10ⁿ, donc 3 divise 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. C'est impossible : les seuls facteurs premiers de 10ⁿ sont 2 et 5. Donc 1/3 n'est pas décimal ; son développement 0,333… est illimité et périodique, comme celui de tout rationnel non décimal.

Le raisonnement par l'absurde est la forme attendue : supposer, déduire, constater l'impossibilité, conclure.

Multiples, diviseurs, nombres premiers et fractions

a est un multiple de b (et b un diviseur de a) s'il existe un entier k tel que a = kb. Un entier est pair s'il s'écrit 2k, impair s'il s'écrit 2k + 1. Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers : c'est l'outil qui donne le PGCD (produit des facteurs communs, au plus petit exposant) et la fraction irréductible.

360 = 2³ × 3² × 5 et 756 = 2² × 3³ × 7. Facteurs communs : 2² × 3² = 36, c'est le PGCD. Donc 360/756 = (36 × 10)/(36 × 21) = 10/21, fraction irréductible puisque 10 = 2 × 5 et 21 = 3 × 7 n'ont plus de facteur commun.

Le carré d'un nombre impair est impair : si n = 2k + 1, alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est de la forme 2k' + 1.

Démonstration inscrite au programme de seconde : l'écriture littérale 2k + 1 fait la preuve pour tous les entiers à la fois.

Fractions : on additionne après réduction au même dénominateur, on multiplie numérateurs et dénominateurs entre eux, diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse. Pour comparer, on réduit au même dénominateur ou l'on compare les produits en croix (dénominateurs positifs) : 5/7 < 3/4 car 5 × 4 = 20 < 3 × 7 = 21.

Puissances, racines carrées, conversions

(3⁴ × 3⁻²)/3⁵ = 3²/3⁵ = 3⁻³ = 1/27. Comparer 2³⁰ et 10⁹ sans calculatrice : 2³⁰ = (2¹⁰)³ = 1 024³, et 1 024³ > 1 000³ = 10⁹, donc 2³⁰ > 10⁹.

√72 = √(36 × 2) = 6√2 ; √50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2 ; 1/√2 = √2/2 (on multiplie en haut et en bas par √2).

À l'échelle 1/25 000, 7,2 cm sur la carte représentent 7,2 × 25 000 = 180 000 cm, soit 1 800 m ou 1,8 km. Une vitesse de 72 km/h vaut 72 000 m/3 600 s = 20 m/s.

Confusions fréquentes

−3² n'est pas (−3)²: La puissance est prioritaire sur le signe moins : −3² = −(3²) = −9, alors que (−3)² = 9. L'erreur coûte une question entière dans une expression plus longue.
√(a + b) ≠ √a + √b: √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 7. La racine se distribue sur un produit ou un quotient, jamais sur une somme.
Une écriture scientifique a une mantisse entre 1 et 10: 0,000 45 = 4,5 × 10⁻⁴. L'écriture 45 × 10⁻⁵ désigne le même nombre mais n'est pas scientifique ; 0,45 × 10⁻³ non plus.
Une fraction simplifiable n'est pas une réponse finale: 84/126 = 2/3 : tant que numérateur et dénominateur ont un diviseur commun, le résultat n'est pas sous la forme irréductible demandée.

En QRC de calcul, écrire une égalité par ligne, dans l'ordre des priorités, et encadrer le résultat final dans la forme demandée. Un contrôle rapide (ordre de grandeur, signe, retour à la décimale) évite de livrer un résultat absurde.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels.Voir le corrigé
Vrai
Un décimal s'écrit a/10ⁿ : c'est un quotient d'un entier relatif par un entier naturel non nul, donc un rationnel.
2.2/7 est un nombre décimal.Voir le corrigé
Faux
La fraction est irréductible et son dénominateur 7 n'est ni 2 ni 5 : le développement décimal 0,285714… est illimité et périodique.
3.Dans l'expression 20 − 12 ÷ 4 × 2, on commence par 12 ÷ 4.Voir le corrigé
Vrai
Division et multiplication sont de même priorité et se font de gauche à droite : 12 ÷ 4 = 3, puis 3 × 2 = 6, et 20 − 6 = 14.
4.2³ × 2⁴ = 2¹².Voir le corrigé
Faux
On additionne les exposants d'un produit de puissances d'un même nombre : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Multiplier les exposants, c'est la règle de (2³)⁴.
5.Le nombre 1 n'est pas un nombre premier.Voir le corrigé
Vrai
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même ; 1 n'en a qu'un.
6.Pour tous réels positifs a et b, √(a + b) = √a + √b.Voir le corrigé
Faux
Contre-exemple : √(9 + 16) = 5 alors que √9 + √16 = 7. La propriété vaut pour le produit, pas pour la somme.

Textes de référence

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