Fiche de coursOption de QRC — catégorie B

Taux d'évolution, moyenne pondérée, ajustement affine, dénombrement, conditionnement et probabilités totales, lois de Bernoulli et binomiale, espérance

20 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Deux hausses successives de 10 % équivalent à une hausse de 20 %.

La partie « statistiques et probabilités » est la plus longue du programme de l'option : dix lignes, de la description d'une série (taux d'évolution, moyenne pondérée, nuage de points, ajustement affine) au calcul des probabilités (dénombrement, expériences indépendantes, conditionnement, probabilités totales, lois de Bernoulli et binomiale, espérance). Le sujet de 2026 y a consacré un exercice entier, deux jeux de hasard avec un dé, des cartes et deux dés. La méthode ne change pas : nommer les événements, décrire l'univers ou dresser l'arbre, écrire la formule avant les nombres, puis interpréter le résultat.

À retenir

Taux d'évolution t = (V_A − V_D)/V_D ; coefficient multiplicateur 1 + t. Des évolutions successives se multiplient : +10 % puis −10 % donnent 1,1 × 0,9 = 0,99, soit −1 %.
Moyenne pondérée : x̄ = Σ nᵢxᵢ / Σ nᵢ. Linéarité : si chaque valeur est transformée en ax + b, la moyenne devient a·x̄ + b.
Ajustement affine : la droite des moindres carrés y = ax + b passe par le point moyen G(x̄ ; ȳ), avec a = cov(x, y)/V(x) et b = ȳ − a·x̄. Une extrapolation suppose que la tendance se prolonge.
Dénombrement : k-uplets d'un ensemble à n éléments nᵏ ; arrangements (ordre, sans répétition) n!/(n − k)! ; permutations n! ; combinaisons (sans ordre) C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).
Probabilité conditionnelle P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A) pour P(A) ≠ 0 ; A et B indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).
Espérance E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ). Loi binomiale B(n ; p) : n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, P(X = k) = C(n, k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E(X) = np.

Décrire une série : taux, moyennes, nuage et ajustement affine

Un prix qui passe de 80 € à 92 € augmente de (92 − 80)/80 = 15 %. Une baisse de 20 % est compensée par une hausse de 25 %, car 0,8 × 1,25 = 1. Sur n périodes, le taux moyen t vérifie (1 + t)ⁿ = coefficient global : de 10 à 21 en quatre ans, (1 + t)⁴ = 2,1, soit t ≈ 20,4 % par an, et non 110/4 = 27,5 %.

Dans un service, 15 agents ont en moyenne 40 ans et 10 agents 46 ans. L'âge moyen est (15 × 40 + 10 × 46)/25 = 1 060/25 = 42,4 ans, pas la moyenne simple (40 + 46)/2 = 43. Si chaque prime x devient 1,02x + 30, la prime moyenne de 500 € devient 1,02 × 500 + 30 = 540 €.

Série à deux variables : rang x = 1 à 5, valeurs y = 10, 12, 15, 17, 21. Point moyen G(3 ; 15). Écarts à la moyenne : x : −2, −1, 0, 1, 2 ; y : −5, −3, 0, 2, 6. Σ produits = 10 + 3 + 0 + 2 + 12 = 27, d'où cov = 27/5 = 5,4 ; V(x) = 10/5 = 2. a = 5,4/2 = 2,7 et b = 15 − 2,7 × 3 = 6,9 : y = 2,7x + 6,9.

La calculatrice donne directement a et b ; le calcul à la main se limite à des séries courtes comme celle-ci.

Dénombrer et modéliser des expériences indépendantes

Choisir la formule de dénombrement

Situation	Ordre ?	Répétition ?	Nombre	Exemple
k-uplet (liste)	Oui	Oui	nᵏ	Code de 4 chiffres : 10⁴ = 10 000
Arrangement	Oui	Non	n!/(n − k)!	Podium de 3 parmi 5 coureurs : 5 × 4 × 3 = 60
Permutation	Oui, tous les éléments	Non	n!	Ranger 4 dossiers : 4! = 24
Combinaison	Non	Non	C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)	Binôme parmi 6 agents : C(6, 2) = 15

Lorsqu'une expérience enchaîne des épreuves indépendantes (un dé puis une carte, deux dés), l'univers est l'ensemble des couples de résultats, de cardinal égal au produit des cardinaux. Avec l'équiprobabilité, P(E) = nombre d'issues favorables / nombre d'issues ; de façon équivalente, la probabilité d'un couple est le produit des probabilités.

Un dé équilibré puis une carte tirée parmi A, B, C, D : 6 × 4 = 24 issues équiprobables. P(« au moins 3 puis B ») = (4 × 1)/24 = 1/6, ou encore 4/6 × 1/4.

Conditionnement, probabilités totales, lois discrètes

30 % des dossiers viennent d'un service A, 70 % d'un service B ; 10 % des dossiers de A et 5 % de ceux de B contiennent une erreur (E). Arbre : P(A ∩ E) = 0,3 × 0,1 = 0,03 ; P(B ∩ E) = 0,7 × 0,05 = 0,035. Probabilités totales : P(E) = 0,065. Sachant qu'un dossier est erroné, il vient de A avec la probabilité 0,03/0,065 = 6/13 ≈ 0,46.

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue ; sa loi donne P(X = xᵢ) pour chaque valeur, et ces probabilités ont pour somme 1. L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : un jeu est équitable quand l'espérance du gain est nulle. Une épreuve de Bernoulli a deux issues, le succès (probabilité p) et son contraire (probabilité 1 − p) ; répétée n fois de façon identique et indépendante, le nombre de succès suit la loi binomiale B(n ; p).

Confusions fréquentes

Les taux ne s'additionnent pas: +12 % puis +5 % font 1,12 × 1,05 = 1,176, soit +17,6 %, et non +17 %. On multiplie les coefficients multiplicateurs.
P_A(B) n'est pas P(A ∩ B): Dans l'arbre, la branche porte la probabilité conditionnelle 0,1 ; le chemin complet porte le produit 0,3 × 0,1 = 0,03.
Pas de loi binomiale sans indépendance: Des tirages sans remise dans un petit effectif ne sont pas indépendants : la loi binomiale ne s'applique pas, sauf si l'énoncé autorise à assimiler le tirage à un tirage avec remise.
Ordre ou pas ordre: Un podium (1er, 2e, 3e) est un arrangement ; un groupe de trois sans rôle distinct est une combinaison. Se tromper multiplie ou divise le résultat par k!.

Présenter un exercice de probabilités : définir chaque événement par une lettre, décrire l'univers ou l'arbre, justifier l'équiprobabilité ou l'indépendance, écrire la formule, calculer, donner le résultat en fraction irréductible puis en décimal, et conclure par une phrase.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Deux hausses successives de 10 % équivalent à une hausse de 20 %.Voir le corrigé
Faux
1,1 × 1,1 = 1,21 : la hausse globale est de 21 %, la seconde hausse portant sur une base déjà augmentée.
2.Une baisse de 20 % est exactement compensée par une hausse de 25 %.Voir le corrigé
Vrai
0,8 × 1,25 = 1 : le coefficient global vaut 1, la valeur revient à son point de départ.
3.Le nombre de façons de choisir 2 agents parmi 5, sans ordre, est 20.Voir le corrigé
Faux
C'est C(5, 2) = 10. Le nombre 20 = 5 × 4 compte les couples ordonnés, c'est-à-dire les arrangements.
4.Si A et B sont indépendants et P(A) ≠ 0, alors P_A(B) = P(B).Voir le corrigé
Vrai
P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A) = P(A) × P(B)/P(A) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
5.La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage.Voir le corrigé
Vrai
b = ȳ − a·x̄ équivaut à ȳ = a·x̄ + b : le point G(x̄ ; ȳ) vérifie l'équation de la droite.

Textes de référence

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