Fiche de coursOption de QRC — catégorie B

Suites arithmétiques et géométriques, terme de rang n, sommes, représentation graphique, suites définies par récurrence

18 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

La suite définie par uₙ = 3n − 7 est arithmétique de raison 3.

La partie « suites numériques » du programme de l'option tient en cinq lignes : suites arithmétiques et géométriques à termes positifs (relation de récurrence, sens de variation), expression du terme de rang n, somme des premiers termes, représentation graphique, calcul d'un terme d'une suite définie par récurrence ou par une formule. Le sujet de 2026 a ouvert l'épreuve sur une suite définie par Uₙ₊₁ = (3/4)Uₙ − 1/2 : calculer des termes, démontrer la décroissance, démontrer la convergence. Les exercices de concours habillent souvent ces suites d'une situation concrète : épargne, salaire, population, placement.

À retenir

Arithmétique de raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r, uₙ = u₀ + nr (ou uₙ = u₁ + (n − 1)r) ; croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Points (n ; uₙ) alignés.
Géométrique de raison q > 0 et de premier terme positif : uₙ₊₁ = q × uₙ, uₙ = u₀ × qⁿ ; croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. Une évolution de t % par période donne q = 1 + t/100.
Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : nombre de termes × (premier + dernier)/2. Ainsi 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101/2 = 5 050.
Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 : premier terme × (1 − q^nombre de termes)/(1 − q). Ainsi 1 + 2 + … + 2⁹ = 2¹⁰ − 1 = 1 023.
Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ (ou l'on compare uₙ₊₁/uₙ à 1 pour une suite à termes positifs).
Suite uₙ₊₁ = a·uₙ + b (a ≠ 1) : le point fixe ℓ vérifie ℓ = aℓ + b ; la suite vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a. Si 0 < a < 1, aⁿ tend vers 0 et uₙ tend vers ℓ.

Reconnaître une suite et exprimer son terme général

Arithmétique ou géométrique

	Arithmétique	Géométrique (termes positifs)
Passage d'un terme au suivant	On ajoute r	On multiplie par q
Test sur les termes	uₙ₊₁ − uₙ constant	uₙ₊₁/uₙ constant
Terme général	uₙ = u₀ + nr	uₙ = u₀ × qⁿ
Sens de variation	Signe de r	q > 1 croissante, 0 < q < 1 décroissante
Représentation	Points alignés	Points sur une courbe « exponentielle »
Situation type	Hausse de 1 000 € par an	Hausse de 3,5 % par an

uₙ = 3n − 7 : uₙ₊₁ − uₙ = 3(n + 1) − 7 − (3n − 7) = 3, constant ; la suite est arithmétique de raison 3 et de premier terme u₀ = −7. vₙ = 5 × 0,8ⁿ est géométrique de raison 0,8 ∈ ]0 ; 1[ et de premier terme 5 > 0 : elle est décroissante.

Une suite définie par récurrence, uₙ₊₁ = f(uₙ), se calcule terme à terme : avec uₙ₊₁ = uₙ² − 1 et u₀ = 2, u₁ = 3, u₂ = 8, u₃ = 63. Une suite définie explicitement, uₙ = f(n), donne n'importe quel terme directement : u₁₀₀ se calcule sans les 99 précédents. Le programme demande de savoir passer de l'une à l'autre dans les cas arithmétique et géométrique.

Sommes de termes et applications

Épargne : 50 € versés le premier mois, puis 5 € de plus chaque mois. uₙ = 50 + 5(n − 1) pour n ≥ 1 ; u₁₂ = 105 € ; total sur un an : 12 × (50 + 105)/2 = 930 €.

Salaire de 24 000 € augmenté de 3,5 % par an : bₙ = 24 000 × 1,035ⁿ⁻¹ ; b₁₀ ≈ 32 710 € ; total sur dix ans : 24 000 × (1,035¹⁰ − 1)/0,035 ≈ 281 553 €.

Le nombre de termes se compte : du rang 1 au rang 10, il y en a 10 ; du rang 0 au rang n, il y en a n + 1.

Confusions fréquentes

Rang 0 ou rang 1: Si le premier terme est u₁, le terme général est u₁ + (n − 1)r ou u₁ × qⁿ⁻¹. Décaler l'exposant d'une unité fausse tous les résultats.
Compter les termes d'une somme: De u₀ à u₉ il y a 10 termes. La formule de somme porte sur le nombre de termes, pas sur le dernier indice.
Une hausse en pourcentage n'est pas arithmétique: +3 % par an multiplie par 1,03 à chaque période : la suite est géométrique ; ajouter 3 % de la valeur initiale chaque année relèverait des intérêts simples.

Suites uₙ₊₁ = a·uₙ + b : variations et limite

Uₙ₊₁ = (3/4)Uₙ − 1/2, U₀ = 1 (sujet 2026). U₁ = 1/4, U₂ = −5/16, U₃ = −47/64. Point fixe : ℓ = (3/4)ℓ − 1/2 donne ℓ = −2. Vₙ = Uₙ + 2 vérifie Vₙ₊₁ = (3/4)Vₙ, V₀ = 3 : Vₙ = 3 × (3/4)ⁿ et Uₙ = 3 × (3/4)ⁿ − 2.

Décroissance : Uₙ₊₁ − Uₙ = −(1/4)Uₙ − 1/2 = −(1/4)(Uₙ + 2) = −(1/4)Vₙ, strictement négatif puisque Vₙ > 0. Convergence : une suite décroissante et minorée converge (théorème de terminale) ; ici Uₙ > −2 pour tout n. Plus directement, (3/4)ⁿ tend vers 0 car 0 < 3/4 < 1, donc Uₙ tend vers −2.

Dans une suite définie par récurrence, commencer par calculer les premiers termes : ils suggèrent le sens de variation et la limite, et servent de contrôle à la formule explicite trouvée ensuite (U₃ = 3 × 27/64 − 2 = −47/64).

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.La suite définie par uₙ = 3n − 7 est arithmétique de raison 3.Voir le corrigé
Vrai
uₙ₊₁ − uₙ = 3 pour tout n : la différence entre deux termes consécutifs est constante.
2.Une suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme 4 est décroissante.Voir le corrigé
Faux
Premier terme positif et raison supérieure à 1 : chaque terme est 1,5 fois le précédent, la suite est croissante.
3.La somme u₀ + u₁ + … + u₉ compte 10 termes.Voir le corrigé
Vrai
Les indices vont de 0 à 9 : il y en a 9 − 0 + 1 = 10.
4.Les points représentant une suite géométrique de raison 2 sont alignés.Voir le corrigé
Faux
Seuls les points d'une suite arithmétique sont alignés ; ceux d'une suite géométrique suivent une courbe de type exponentiel.
5.Si 0 < q < 1, alors qⁿ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.Voir le corrigé
Vrai
Multiplier indéfiniment par un nombre compris entre 0 et 1 rend le produit aussi proche de 0 que l'on veut ; c'est ce qui fait converger Uₙ = 3 × (3/4)ⁿ − 2 vers −2.

Textes de référence

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