Fiche de coursOption de QRC — catégorie B

Calcul littéral et identités remarquables, règles des inégalités, équations et inéquations du premier degré, second degré et inéquations quotients

18 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Si a ≤ b et c ≤ d, alors a − c ≤ b − d.

Le sujet de 2026 de l'option a posé trois inéquations : un second degré, puis deux quotients dont il fallait d'abord repérer la valeur interdite et factoriser. Tout repose sur quelques gestes du programme : développer et factoriser avec les identités remarquables, manipuler une inégalité sans en inverser le sens par mégarde, résoudre au premier degré, puis ramener une inéquation plus complexe à l'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de facteurs simples. Le tableau de signes est l'outil de conclusion ; le discriminant, vu en première, sert à factoriser quand aucune racine n'est évidente.

À retenir

Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b). Elles servent dans les deux sens : développer et factoriser.
On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens : si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d. On ne peut pas les soustraire membre à membre.
Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un réel strictement positif conserve le sens ; par un réel strictement négatif, l'inverse. C'est la traduction de la croissance de x ↦ kx pour k > 0 et de sa décroissance pour k < 0.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; son signe se lit dans un tableau de signes, facteur par facteur.
Second degré ax² + bx + c : Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux racines (−b ± √Δ)/(2a) et ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.
Pour une inéquation quotient, on écarte les valeurs interdites, on ramène tout d'un seul côté pour comparer à 0, on factorise numérateur et dénominateur, puis on conclut par un tableau de signes. Une valeur interdite est toujours exclue.

Calcul littéral et règles des inégalités

A = (3x − 1)² − (x + 3)². Développé : 9x² − 6x + 1 − (x² + 6x + 9) = 8x² − 12x − 8. Factorisé avec a² − b² : [(3x − 1) − (x + 3)][(3x − 1) + (x + 3)] = (2x − 4)(4x + 2) = 4(x − 2)(2x + 1). Contrôle : 4(x − 2)(2x + 1) = 4(2x² − 3x − 2) = 8x² − 12x − 8.

Le signe moins devant (x + 3)² s'applique aux trois termes de son développement : c'est une erreur classique.

Si 1 ≤ x ≤ 2 et −3 ≤ y ≤ −1, on encadre x + y en ajoutant membre à membre : −2 ≤ x + y ≤ 1. Pour −2y, on multiplie −3 ≤ y ≤ −1 par −2 < 0, ce qui renverse les inégalités : 6 ≥ −2y ≥ 2, soit 2 ≤ −2y ≤ 6. Pour x − y, on écrit x − y = x + (−y) avec 1 ≤ −y ≤ 3, d'où 2 ≤ x − y ≤ 5.

La fonction affine f(x) = −3x + 2 est décroissante, car son coefficient −3 est négatif : si a < b, alors −3a > −3b, puis −3a + 2 > −3b + 2, c'est-à-dire f(a) > f(b).

Du premier degré au second degré

Premier degré : on isole l'inconnue par des opérations sur les deux membres. 3(x − 2) − 5 = 2x + 1 donne 3x − 11 = 2x + 1, donc x = 12 ; contrôle : 3 × 10 − 5 = 25 et 2 × 12 + 1 = 25. Pour une inéquation, on inverse le sens dès qu'on divise par un nombre négatif : −2x > 6 donne x < −3.

4x² > 3x + 1 s'écrit 4x² − 3x − 1 > 0. Δ = (−3)² − 4 × 4 × (−1) = 9 + 16 = 25, √Δ = 5 ; racines (3 − 5)/8 = −1/4 et (3 + 5)/8 = 1. Le coefficient 4 est positif : le trinôme est positif à l'extérieur des racines. S = ]−∞ ; −1/4[ ∪ ]1 ; +∞[.

1 est racine évidente (4 − 3 − 1 = 0) : on pouvait aussi factoriser directement 4x² − 3x − 1 = (x − 1)(4x + 1).

Signe de 4x² − 3x − 1 = (x − 1)(4x + 1)

x	−∞ à −1/4	−1/4 à 1	1 à +∞
4x + 1	−	+	+
x − 1	−	−	+
Produit	+	−	+

Inéquations quotients : valeurs interdites et tableau de signes

Sur [0 ; +∞[, (4x² − 12x + 9)/(2x² − x − 3) > 0. Numérateur : (2x − 3)², identité remarquable. Dénominateur : Δ = 1 + 24 = 25, racines −1 et 3/2, donc 2x² − x − 3 = (2x − 3)(x + 1). Valeur interdite sur l'intervalle : 3/2. Pour x ≠ 3/2, le quotient vaut (2x − 3)/(x + 1), et x + 1 > 0 sur [0 ; +∞[ : il est strictement positif si et seulement si x > 3/2. S = ]3/2 ; +∞[.

Dans ℝ, (x² − 1)/(x − 1)² + 1 ≥ −4/(x − 1). Valeur interdite : 1. Pour x ≠ 1, (x² − 1)/(x − 1)² = (x + 1)/(x − 1). L'inéquation devient (x + 1)/(x − 1) + (x − 1)/(x − 1) + 4/(x − 1) ≥ 0, soit (2x + 4)/(x − 1) ≥ 0. Zéros : −2 (inclus) et 1 (exclu). S = ]−∞ ; −2] ∪ ]1 ; +∞[.

Contrôle en −2 : (4 − 1)/9 + 1 = 4/3 et −4/(−3) = 4/3, il y a bien égalité.

Confusions fréquentes

Ne jamais multiplier une inéquation par une expression de signe inconnu: Multiplier par (x − 1) « pour chasser le dénominateur » change ou non le sens selon que x > 1 ou x < 1 : on perd des solutions. On ramène tout à gauche et on étudie le signe du quotient.
Une valeur interdite ne fait jamais partie des solutions: Même quand l'inégalité est large (≥), le crochet est ouvert en une valeur qui annule le dénominateur : ]1 ; +∞[, pas [1 ; +∞[.
On ne divise pas les deux membres par x: Diviser x² = 7x par x fait perdre la solution x = 0 : on factorise x(x − 7) = 0.

Présentation attendue d'une inéquation : domaine et valeurs interdites, transformation en « expression comparée à 0 », factorisation, tableau de signes, ensemble des solutions écrit en intervalles avec des crochets justifiés.

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1.Si a ≤ b et c ≤ d, alors a − c ≤ b − d.Voir le corrigé
Faux
Contre-exemple : 0 ≤ 1 et 0 ≤ 5 donnent 0 − 0 = 0 et 1 − 5 = −4, or 0 > −4. Seule l'addition membre à membre est permise.
2.Diviser les deux membres d'une inéquation par −4 en inverse le sens.Voir le corrigé
Vrai
La fonction x ↦ −x/4 est décroissante : elle renverse l'ordre des nombres.
3.Un trinôme de discriminant négatif garde le signe de son coefficient a sur ℝ.Voir le corrigé
Vrai
Sans racine réelle, il ne s'annule jamais et ne change pas de signe ; il a donc partout le signe de a.
4.Dans une inéquation quotient large, la valeur qui annule le dénominateur est incluse si elle annule aussi le numérateur.Voir le corrigé
Faux
Une valeur interdite n'appartient pas au domaine : l'expression n'y est pas définie, elle est toujours exclue.
5.(x + 5)² = x² + 10x + 25.Voir le corrigé
Vrai
(a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = x et b = 5 : 2ab = 10x.

Textes de référence

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