Arithmétique dans K[X] : division euclidienne, PGCD, Bézout, Gauss, polynômes irréductibles
18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Le reste de la division euclidienne d'un polynôme A par X − a est la constante A(a).
Les polynômes à coefficients dans K = R ou C se divisent comme les entiers : une division euclidienne, des diviseurs communs, un plus grand commun diviseur calculé par l'algorithme d'Euclide, une relation de Bézout et un lemme de Gauss. Le programme de l'option distingue la « divisibilité » et l'« arithmétique dans K[X] » de la seule factorisation : cette fiche en donne les énoncés et les calculs types — PGCD par divisions successives, reste d'une division sans la poser, multiplicité d'une racine lue sur les dérivées, décomposition en irréductibles sur C et sur R.
À retenir
- Division euclidienne : pour A et B dans K[X], B non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que A = BQ + R avec deg R < deg B. Le reste se calcule souvent sans poser la division, en évaluant A aux racines de B.
- a est racine de P si et seulement si (X − a) divise P. Elle est de multiplicité m si (X − a)^m divise P mais pas (X − a)^(m+1), ce qui équivaut à P(a) = P'(a) = … = P^(m−1)(a) = 0 et P^(m)(a) ≠ 0.
- Le PGCD de A et B, non tous deux nuls, est l'unique diviseur commun unitaire de degré maximal ; l'algorithme d'Euclide l'obtient comme dernier reste non nul, rendu unitaire.
- Théorème de Bézout : A et B sont premiers entre eux, c'est-à-dire de PGCD égal à 1, si et seulement s'il existe U et V dans K[X] tels que AU + BV = 1. Plus généralement, il existe toujours U et V avec AU + BV = PGCD(A, B).
- Lemme de Gauss : si A divise le produit BC et si A est premier avec B, alors A divise C.
- Irréductibles : dans C[X], ce sont les polynômes de degré 1 (théorème de d'Alembert-Gauss) ; dans R[X], les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant strictement négatif. Tout polynôme non constant se décompose de façon unique, à l'ordre près, en un coefficient dominant multiplié par des irréductibles unitaires.
- Dans C[X], deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine complexe commune.
Division euclidienne, racines et multiplicité
Pour A et B dans K[X] avec B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) de K[X] tel que A = BQ + R et deg R < deg B. B divise A lorsque le reste est nul. Pour B = X − a, le reste est la constante A(a) : d'où l'équivalence « a racine de A » ⇔ « (X − a) divise A ». Quand B a des racines connues et distinctes, le reste s'obtient sans poser la division : on écrit R avec des coefficients inconnus, de degré inférieur à celui de B, et on évalue A = BQ + R aux racines de B.
Reste de la division de Xⁿ par X² − 3X + 2 = (X − 1)(X − 2). Le reste est de degré au plus 1 : R = αX + β. En évaluant Xⁿ = (X − 1)(X − 2)Q + αX + β en 1 puis en 2 : α + β = 1 et 2α + β = 2ⁿ. D'où α = 2ⁿ − 1 et β = 2 − 2ⁿ, soit R = (2ⁿ − 1)X + 2 − 2ⁿ. Contrôle pour n = 2 : R = 3X − 2, et en effet X² = (X² − 3X + 2) + 3X − 2.
P = X³ − 3X + 2. P(1) = 1 − 3 + 2 = 0 ; P' = 3X² − 3 donne P'(1) = 0 ; P'' = 6X donne P''(1) = 6 ≠ 0. Le nombre 1 est racine double : (X − 1)² divise P, et P = (X − 1)²(X + 2).
PGCD, algorithme d'Euclide, Bézout et Gauss
PGCD de A = X³ − 1 et B = X² − 1. Première division : X³ − 1 = X·(X² − 1) + (X − 1). Deuxième : X² − 1 = (X + 1)(X − 1) + 0. Le dernier reste non nul est X − 1, déjà unitaire : PGCD(A, B) = X − 1. En remontant la première égalité, X − 1 = A − X·B : c'est une relation de Bézout avec U = 1 et V = −X.
A = X² + 1 et B = X + 1 sont premiers entre eux : X² + 1 = (X − 1)(X + 1) + 2, le reste 2 est une constante non nulle. En divisant par 2 : 1 = (1/2)·A − ((X − 1)/2)·B, relation de Bézout avec U = 1/2 et V = (1 − X)/2.
| Énoncé | Contenu | Usage type |
|---|---|---|
| Bézout | A et B premiers entre eux ⇔ il existe U, V avec AU + BV = 1 | Prouver que deux polynômes sont premiers entre eux, inverser modulo un polynôme |
| Gauss | A divise BC et A premier avec B ⇒ A divise C | Simplifier une divisibilité, prouver l'unicité d'une décomposition |
| Divisibilité par un produit | Si A et B premiers entre eux divisent P, alors AB divise P | Montrer que (X − a)(X − b) divise P quand a ≠ b sont racines |
Confusions fréquentes
- Le PGCD est unitaire
- L'algorithme d'Euclide donne un dernier reste non nul défini à une constante près ; on le divise par son coefficient dominant pour obtenir LE PGCD.
- Un reste constant non nul signifie « premiers entre eux »
- Si une division de l'algorithme laisse une constante non nulle, le PGCD vaut 1 : il ne faut pas continuer à chercher un diviseur commun de degré positif.
Polynômes irréductibles et décomposition sur C et sur R
Un polynôme non constant est irréductible s'il n'admet pour diviseurs que les constantes non nulles et ses propres multiples constants. Dans C[X], tout polynôme non constant a une racine (d'Alembert-Gauss) : les irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1. Dans R[X], les racines non réelles vont par paires conjuguées, et le produit (X − z)(X − z̄) = X² − 2Re(z)X + |z|² est à coefficients réels et à discriminant négatif : les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant strictement négatif.
X⁴ + 1 a pour racines complexes les quatre racines quatrièmes de −1 : e^(iπ/4), e^(3iπ/4), e^(5iπ/4) et e^(7iπ/4). Dans C[X], il est le produit des quatre facteurs X − e^(ikπ/4), k impair. Dans R[X], on regroupe les conjuguées : X⁴ + 1 = (X² + 1)² − 2X² = (X² − √2X + 1)(X² + √2X + 1), deux trinômes de discriminant 2 − 4 = −2 < 0, donc irréductibles sur R.
Confusions fréquentes
- Sans racine réelle ne veut pas dire irréductible sur R
- Le critère « pas de racine » ne vaut qu'en degré 2 ou 3. En degré 4 et au-delà, un polynôme sans racine réelle peut se factoriser en trinômes, comme X⁴ + 1.
Pour un PGCD dans C[X], chercher d'abord les racines communes avec leur plus petite multiplicité : PGCD(A, B) = produit des (X − a)^min(m, m') sur les racines communes. L'algorithme d'Euclide reste la méthode sûre quand les racines ne sont pas visibles.
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1.Le reste de la division euclidienne d'un polynôme A par X − a est la constante A(a).Voir le corrigé
Vrai
En écrivant A = (X − a)Q + R avec R constant et en évaluant en a, on obtient R = A(a).
2.Le polynôme X⁴ + 1, qui n'a pas de racine réelle, est irréductible dans R[X].Voir le corrigé
Faux
X⁴ + 1 = (X² + √2 X + 1)(X² − √2 X + 1) : sans racine réelle, il se factorise pourtant en deux trinômes réels. Dans R[X], l'absence de racine réelle ne garantit l'irréductibilité qu'en degré 2 ou 3.
3.Dans C[X], deux polynômes sans racine commune sont premiers entre eux.Voir le corrigé
Vrai
Un PGCD non constant aurait une racine complexe, qui serait commune aux deux polynômes.
4.Si A divise BC, alors A divise B ou A divise C.Voir le corrigé
Faux
Il faut une hypothèse : le lemme de Gauss conclut que A divise C lorsque A est premier avec B. Sans elle, X² divise X·X sans diviser X.
5.Si a est racine double de P, alors P(a) et P'(a) sont tous deux nuls.Voir le corrigé
Vrai
(X − a)² divise P ; en dérivant P = (X − a)²Q, on voit que P' s'annule aussi en a.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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