Groupes, anneaux, corps ; polynômes et fractions rationnelles

Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application qui, à tout couple d'éléments de E, associe un élément de E. Un groupe (G, *) est un ensemble muni d'une loi de composition interne qui est associative, admet un élément neutre e (e * x égale x * e égale x pour tout x), et pour laquelle tout élément x admet un symétrique x' (x * x' égale x' * x égale e). Le groupe est dit commutatif, ou abélien, quand la loi est de plus commutative.

Une partie H de G est un sous-groupe si elle est non vide, stable par la loi (pour x et y dans H, x * y appartient à H) et stable par passage au symétrique (pour x dans H, le symétrique de x appartient à H) ; ces deux conditions se résument souvent en une seule : pour tous x et y de H, x * le symétrique de y appartient à H. Muni de la loi induite, H est alors lui-même un groupe.

Un morphisme de groupes f, de (G, *) vers (G', *'), est une application qui transporte la loi : pour tous x et y de G, f(x * y) égale f(x) *' f(y). Son noyau, noté Ker f, est l'ensemble des éléments de G dont l'image par f est le neutre e' de G' ; c'est un sous-groupe de G. Le morphisme f est injectif si et seulement si son noyau est réduit au neutre e de G — ce critère évite de comparer deux images pour prouver l'injectivité.

Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux lois : pour l'addition, A est un groupe abélien, de neutre 0 ; pour la multiplication, la loi est associative et distributive par rapport à l'addition. L'anneau est dit commutatif si sa multiplication est commutative, unitaire s'il possède un neutre 1 pour la multiplication. Un corps est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication.

Pour deux polynômes P et Q à coefficients dans un corps K, non nuls, le degré du produit P fois Q égale la somme des degrés de P et de Q, et le degré de la somme P plus Q est inférieur ou égal au plus grand des deux degrés. Division euclidienne : pour P et Q, Q non nul, il existe un unique couple de polynômes (quotient, reste) tel que P égale Q fois le quotient plus le reste, avec le degré du reste strictement inférieur au degré de Q — c'est l'analogue exact de la division euclidienne des entiers.

Un élément a de K est racine de P si P(a) égale 0, ce qui équivaut à ce que (X moins a) divise P. La multiplicité de la racine a est l'entier k tel que (X moins a) puissance k divise P sans que (X moins a) puissance (k + 1) le divise. Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine complexe ; par récurrence sur le degré, un polynôme de degré n à coefficients complexes admet donc exactement n racines, comptées avec multiplicité, et se factorise en un produit du coefficient dominant par n facteurs du premier degré.

Sur les réels, les racines complexes non réelles d'un polynôme à coefficients réels apparaissent par paires de racines complexes conjuguées : si a est racine, son conjugué l'est aussi, avec la même multiplicité. La factorisation sur les réels regroupe chaque paire en un facteur du second degré, à discriminant strictement négatif, irréductible sur les réels ; les racines réelles restent des facteurs du premier degré. Relations de Viète, pour un polynôme de degré n de coefficient dominant a indice n et de racines x indice 1 à x indice n : leur somme vaut moins le coefficient de X puissance (n moins 1), divisé par a indice n ; leur produit vaut (moins 1) puissance n multiplié par le coefficient constant, divisé par a indice n.

Une fraction rationnelle est un quotient P sur Q de deux polynômes, Q non nul. Quand le dénominateur Q se factorise en facteurs du premier degré tous distincts, (X moins a indice 1) fois (X moins a indice 2) et ainsi de suite, la fraction se décompose de façon unique en somme d'une partie entière, obtenue par division euclidienne de P par Q si le degré de P est supérieur ou égal à celui de Q, et de termes simples en c indice i divisé par (X moins a indice i). Le coefficient c indice i s'obtient par la formule pratique : c indice i égale P(a indice i) divisé par la dérivée de Q évaluée en a indice i.

Cas général. Le degré d'une fraction P sur Q est le degré de P moins celui de Q ; ses pôles sont les racines du dénominateur, la fraction étant mise sous forme irréductible. Un pôle a de multiplicité k apporte k termes : c indice 1 sur (X moins a), c indice 2 sur (X moins a) au carré, jusqu'à c indice k sur (X moins a) puissance k. Sur les réels, un facteur irréductible X² + pX + q du dénominateur, de multiplicité m, apporte les termes (αX + β) sur (X² + pX + q) puissance j, pour j de 1 à m. La décomposition reste unique. Le coefficient de la plus haute puissance d'un pôle multiple s'obtient en multipliant par (X moins a) puissance k puis en évaluant en a ; les autres, par évaluation en un point commode ou par limite en l'infini après multiplication par X.

Pour une QRC sur les polynômes : chercher d'abord une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant, diviser, puis factoriser le quotient. Pour une décomposition en éléments simples à pôles simples, la formule P(a) divisé par la dérivée de Q en a évite de résoudre un système.