Espaces vectoriels, bases, dimension, applications linéaires
18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Une famille libre qui compte autant de vecteurs que la dimension de l'espace est une base.
L'algèbre linéaire fournit le langage commun de la licence de mathématiques : un ensemble de vecteurs, des combinaisons entre eux, et des applications qui respectent ces combinaisons. Le programme de l'option de l'épreuve 2 d'inspecteur lui consacre plusieurs lignes, des familles de vecteurs aux applications linéaires, et un calcul dans R² ou R³ en est l'application la plus directe. Cette fiche pose le vocabulaire — sous-espace, famille libre, génératrice, base, dimension, rang — puis l'applique aux applications linéaires : noyau, image, théorème du rang, isomorphisme.
À retenir
- Un espace vectoriel réel est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un réel, compatibles avec des axiomes usuels (associativité, élément neutre, opposé, distributivité) ; R au carré et R au cube, avec leurs opérations coordonnée par coordonnée, sont les modèles de référence.
- Un sous-espace vectoriel se caractérise en une seule vérification : une partie non vide est un sous-espace si, pour tous vecteurs u et v qui la composent et tout réel λ, le vecteur u plus λ fois v y reste.
- Une famille est libre quand la seule combinaison linéaire nulle de ses vecteurs a tous ses coefficients nuls ; elle est génératrice quand tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire de ses vecteurs ; une base réunit les deux propriétés.
- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre commun de vecteurs de toutes ses bases ; le rang d'une famille est la dimension du sous-espace qu'elle engendre, c'est-à-dire le nombre maximal de vecteurs indépendants qu'elle contient.
- Deux sous-espaces F et G sont supplémentaires quand leur somme vaut l'espace entier et leur intersection est réduite au vecteur nul : tout vecteur se décompose alors de façon unique en un vecteur de F plus un vecteur de G.
- Une application linéaire respecte l'addition et la multiplication externe ; son noyau rassemble les vecteurs envoyés sur le vecteur nul, son image les valeurs atteintes ; sa matrice dans des bases se construit colonne par colonne, chaque colonne portant les coordonnées de l'image d'un vecteur de base.
- Le théorème du rang relie la dimension du noyau, le rang et la dimension de l'espace de départ ; une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul, et entre deux espaces de même dimension finie, injectivité et surjectivité deviennent équivalentes.
Espace vectoriel, sous-espace, combinaison linéaire
Un sous-espace vectoriel d'un espace E est une partie qui contient le vecteur nul et qui est stable par addition et par multiplication par un réel ; en pratique, deux vérifications suffisent : il contient le vecteur nul, et pour tous vecteurs u, v du sous-espace et tout réel λ, le vecteur u + λv y reste encore. Une combinaison linéaire de vecteurs u1, u2, …, un est une somme λ1u1 + λ2u2 + … + λnun, où les λi sont des réels quelconques ; un sous-espace est exactement une partie non vide stable par toutes les combinaisons linéaires de ses éléments.
| Partie de R³ | Sous-espace ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| Le plan d'équation x + y − z = 0 | Oui | Contient (0 ; 0 ; 0) et stable par combinaison linéaire : c'est une équation linéaire homogène |
| Le plan d'équation x + y − z = 1 | Non | Ne contient pas le vecteur nul, puisque 0 + 0 − 0 = 0, différent de 1 |
| La réunion de deux droites vectorielles distinctes | Non | La somme d'un vecteur de chaque droite n'appartient en général à aucune des deux |
Familles, bases, dimension et rang
| Notion | Définition | Critère pratique |
|---|---|---|
| Famille libre | La seule combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls | Résoudre le système homogène associé ; seule solution, la solution nulle |
| Famille génératrice | Tout vecteur de l'espace est combinaison linéaire de la famille | Le rang de la famille égale la dimension de l'espace entier |
| Base | Libre et génératrice à la fois | Le nombre de vecteurs égale la dimension, et ils sont indépendants |
Dans R³, soit u1 = (1 ; 2 ; 1), u2 = (2 ; 1 ; −1) et u3 = (0 ; 3 ; 3). On cherche deux réels a et b tels que u3 = a·u1 + b·u2 : le système a + 2b = 0, 2a + b = 3, a − b = 3 donne a = −2b par la première équation ; en reportant dans la deuxième, −4b + b = 3, donc b = −1, puis a = 2. La troisième équation confirme : a − b = 2 − (−1) = 3, la valeur attendue. Donc u3 = 2u1 − u2 : la famille est liée. Comme u1 et u2 ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre de deux vecteurs, et le rang de la famille initiale vaut 2.
Deux sous-espaces F et G d'un espace E de dimension finie sont supplémentaires quand F + G = E et F ∩ G = {0} : tout vecteur de E se décompose alors de façon unique en une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G, et la dimension de la somme vaut la somme des dimensions, dim(F) + dim(G) = dim(E). Plus généralement, pour deux sous-espaces quelconques, l'intersection F ∩ G et la somme F + G, ensemble des u + v avec u dans F et v dans G, sont des sous-espaces (la réunion, elle, n'en est pas un en général), et la formule de Grassmann donne dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G). Deux plans vectoriels distincts de R³ ont ainsi pour somme R³ et pour intersection une droite : 2 + 2 − 1 = 3.
Confusions fréquentes
- Libre n'entraîne pas génératrice
- Une famille libre peut n'engendrer qu'un sous-espace strict ; une famille génératrice peut contenir un vecteur redondant et ne pas être libre. Seule une base réunit les deux propriétés.
- Un sous-espace contient toujours le vecteur nul
- Une partie qui ressemble à une droite ou un plan mais qui ne contient pas le vecteur nul, ou qui n'est pas stable par addition, n'est pas un sous-espace vectoriel.
Applications linéaires : noyau, image, rang, isomorphisme
| Objet | Définition | Lien avec la matrice A |
|---|---|---|
| Noyau | Vecteurs envoyés sur le vecteur nul | Solutions du système homogène A·X = 0 |
| Image | Valeurs atteintes par l'application | Combinaisons linéaires des colonnes de A |
| Rang de l'application | Dimension de l'image | Rang de la matrice A |
Soit f de R³ dans R² telle que f(x ; y ; z) = (x + y − z ; 2x − y + z). Le noyau vérifie x + y − z = 0 et 2x − y + z = 0 ; en additionnant les deux équations, 3x = 0, donc x = 0, puis y = z : le noyau est la droite engendrée par (0 ; 1 ; 1), de dimension 1. Les deux lignes de la matrice, (1 ; 1 ; −1) et (2 ; −1 ; 1), ne sont pas proportionnelles : le rang de f vaut 2, et l'image est R² tout entier. Le théorème du rang se vérifie : 1 + 2 = 3, la dimension de l'espace de départ.
Soit g de R² dans R² telle que g(x ; y) = (x + y ; x − y). Le noyau vérifie x + y = 0 et x − y = 0 ; en additionnant, 2x = 0, donc x = 0, puis y = 0 : le noyau est réduit au vecteur nul, g est injective. Départ et arrivée ayant la même dimension 2, le théorème du rang donne rang(g) = 2 − 0 = 2, égal à la dimension de l'arrivée : g est aussi surjective, donc bijective. C'est un isomorphisme.
La matrice d'une application linéaire dans des bases se construit colonne par colonne : la j-ième colonne porte les coordonnées, dans la base d'arrivée, de l'image du j-ième vecteur de la base de départ. Changer de bases change la matrice sans changer l'application : son rang et la dimension de son noyau restent les mêmes, seules leurs coordonnées dans les nouvelles bases changent d'écriture.
Confusions fréquentes
- Le théorème du rang porte sur l'espace de départ
- dim(noyau) + rang égale la dimension de l'espace de départ, jamais celle de l'espace d'arrivée : confondre les deux inverse tout le calcul.
- Injective n'entraîne surjective qu'en dimensions égales
- Entre R³ et R², une application peut être surjective sans être injective. L'équivalence entre les deux propriétés suppose une même dimension finie de part et d'autre.
Pour un noyau ou une image, poser d'abord le système, le réduire, puis lire la dimension sur le nombre de paramètres libres restants ; pour le théorème du rang, contrôler systématiquement que la somme retombe sur la dimension de l'espace de départ, jamais sur celle de l'arrivée.
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1.Une famille libre qui compte autant de vecteurs que la dimension de l'espace est une base.Voir le corrigé
Vrai
Dans un espace de dimension n, une famille libre de n vecteurs est automatiquement génératrice, donc c'est une base.
2.Une famille génératrice qui compte plus de vecteurs que la dimension de l'espace est libre.Voir le corrigé
Faux
Au-delà de la dimension de l'espace, une famille compte un vecteur redondant, combinaison linéaire des autres : elle est liée, tout en continuant d'engendrer l'espace entier.
3.Le théorème du rang relie la dimension du noyau et le rang à la dimension de l'espace d'arrivée.Voir le corrigé
Faux
Il relie ces deux nombres à la dimension de l'espace de départ, et non à celle de l'espace d'arrivée.
4.Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul.Voir le corrigé
Vrai
C'est la caractérisation usuelle de l'injectivité pour une application linéaire, équivalente au noyau nul.
5.Deux plans vectoriels de R³ peuvent être supplémentaires.Voir le corrigé
Faux
Deux sous-espaces supplémentaires de R³ ont des dimensions de somme 3 et une intersection réduite au vecteur nul : un plan a pour supplémentaire une droite. Deux plans vectoriels de R³ se coupent au moins selon une droite.
6.Entre deux espaces vectoriels de même dimension finie, une application linéaire injective est toujours surjective.Voir le corrigé
Vrai
Le théorème du rang impose alors une image de même dimension que l'arrivée, donc l'égalité entre les deux notions.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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