Probabilités conditionnelles, probabilités totales, formule de Bayes, indépendance
18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Pour A de probabilité non nulle, l'application B ↦ P(B | A) est une probabilité.
Conditionner, c'est mettre à jour une probabilité quand une information arrive : sachant que le dossier a été signalé, quelle est la probabilité qu'il soit irrégulier ? Le programme de l'option réunit sur une même ligne l'indépendance, les probabilités conditionnelles, la formule de Bayes et celle des probabilités totales. Ces quatre outils s'emploient ensemble : un système complet d'événements pour décomposer, les probabilités totales pour recomposer, Bayes pour inverser le conditionnement — et l'indépendance, qui se définit par un produit et ne se confond jamais avec l'incompatibilité.
À retenir
- Si P(A) > 0, la probabilité de B sachant A est P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A). L'application B ↦ P(B | A) est elle-même une probabilité sur Ω.
- Probabilités composées : P(A1 ∩ … ∩ An) = P(A1)·P(A2 | A1)·…·P(An | A1 ∩ … ∩ An−1), tant que les conditionnements portent sur des événements de probabilité non nulle. C'est la règle des arbres pondérés.
- Un système complet d'événements est une famille d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω. Formule des probabilités totales : P(B) = Σ P(B | Ai)·P(Ai).
- Formule de Bayes : P(Ai | B) = P(B | Ai)·P(Ai)/Σj P(B | Aj)·P(Aj). Elle « retourne » le conditionnement : de la probabilité du signal sachant la cause à celle de la cause sachant le signal.
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)·P(B) ; si P(A) > 0, cela équivaut à P(B | A) = P(B). Si A et B sont indépendants, Ā et B, A et B̄, Ā et B̄ le sont aussi.
- Des événements A1, …, An sont mutuellement indépendants si la probabilité de l'intersection de toute sous-famille est le produit des probabilités. L'indépendance deux à deux ne suffit pas.
- Incompatibles et indépendants ne sont pas synonymes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A ∩ B) = 0 alors que P(A)·P(B) > 0.
Probabilité conditionnelle, probabilités composées et totales
Pour A de probabilité non nulle, P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A). En retournant l'égalité, P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A) : c'est la formule des probabilités composées, que l'on étend à n événements par récurrence. Si (A1, …, An) est un système complet d'événements de probabilités non nulles, B est la réunion disjointe des B ∩ Ai, d'où la formule des probabilités totales P(B) = P(B | A1)·P(A1) + … + P(B | An)·P(An).
On tire successivement et sans remise deux boules d'une urne qui contient 3 rouges et 2 bleues. P(les deux sont rouges) = P(R1)·P(R2 | R1) = (3/5) × (2/4) = 3/10. Le dénombrement confirme : C(3, 2)/C(5, 2) = 3/10.
On choisit une urne à pile ou face : U1 contient 3 rouges et 2 bleues, U2 une rouge et 4 bleues. Avec le système complet {U1, U2}, P(rouge) = P(R | U1)·P(U1) + P(R | U2)·P(U2) = (3/5)(1/2) + (1/5)(1/2) = 2/5.
La formule de Bayes : de la cause sachant l'effet
Formule de Bayes : pour un système complet (Ai) de probabilités non nulles et un événement B de probabilité non nulle, P(Ai | B) = P(B | Ai)·P(Ai)/P(B), où P(B) se calcule par les probabilités totales. Le numérateur est la probabilité du chemin « Ai puis B » ; le dénominateur, la somme de tous les chemins qui mènent à B.
Exemple chiffré, hypothétique : 4 % des dossiers d'un service sont irréguliers (I). Un outil de ciblage signale (S) 90 % des dossiers irréguliers et 10 % des dossiers réguliers. P(S) = 0,9 × 0,04 + 0,1 × 0,96 = 0,036 + 0,096 = 0,132. Donc P(I | S) = 0,036/0,132 = 3/11, environ 0,27 : près de trois dossiers signalés sur quatre sont réguliers.
Confusions fréquentes
- P(B | A) n'est pas P(A | B)
- La probabilité d'être signalé sachant qu'on est irrégulier, 0,9, n'a rien à voir avec celle d'être irrégulier sachant qu'on est signalé, 0,27. Les confondre est l'erreur que la formule de Bayes existe pour corriger.
- Le dénominateur de Bayes se calcule
- P(B) n'est presque jamais donnée : elle s'obtient par les probabilités totales sur un système complet, qu'il faut nommer.
Indépendance de deux événements, de n événements
| Notion | Définition | Ce qu'elle dit |
|---|---|---|
| Incompatibles | A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0 | Les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble |
| Indépendants | P(A ∩ B) = P(A)·P(B) | Savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B |
| Mutuellement indépendants (n événements) | Produit pour l'intersection de toute sous-famille | Aucune combinaison d'informations ne renseigne sur les autres |
On lance deux pièces équilibrées. A : « la première donne pile », B : « la seconde donne pile », C : « les deux pièces donnent le même résultat ». P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 et P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 1/4 : les événements sont indépendants deux à deux. Mais A ∩ B ∩ C = A ∩ B, de probabilité 1/4, différente de 1/8 : ils ne sont pas mutuellement indépendants.
Confusions fréquentes
- Incompatibles ne veut pas dire indépendants
- Si A et B sont incompatibles avec P(A) > 0 et P(B) > 0, alors P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)·P(B) : ils sont au contraire très dépendants, la réalisation de l'un exclut l'autre.
Pour une QRC de conditionnement : définir les événements par des lettres, nommer le système complet, dresser l'arbre, puis écrire la formule utilisée avant de passer aux nombres. Conclure par une phrase qui interprète le résultat dans les termes de l'énoncé.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Pour A de probabilité non nulle, l'application B ↦ P(B | A) est une probabilité.Voir le corrigé
Vrai
Elle vaut 1 en Ω et elle est σ-additive, car l'intersection avec A préserve l'incompatibilité des événements.
2.Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont indépendants.Voir le corrigé
Faux
Leur intersection a une probabilité nulle alors que le produit de leurs probabilités est strictement positif.
3.Si A et B sont indépendants, alors le complémentaire de A et B sont indépendants.Voir le corrigé
Vrai
P(Ā ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B) = P(B) − P(A)·P(B) = P(Ā)·P(B).
4.Trois événements indépendants deux à deux sont mutuellement indépendants.Voir le corrigé
Faux
Avec deux pièces, « première pile », « seconde pile » et « même résultat » sont indépendants deux à deux sans l'être mutuellement.
5.La formule des probabilités totales s'applique à un système complet d'événements.Voir le corrigé
Vrai
Il faut des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω ; B se décompose alors sur cette partition.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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