Couples et vecteurs aléatoires : loi conjointe, covariance, loi d'une somme
20 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Les lois marginales d'un couple suffisent à reconstituer sa loi conjointe.
Deux variables aléatoires observées ensemble — le montant d'un dossier et son délai de traitement, deux lancers de dés — forment un couple. Leur loi conjointe dit tout ; les lois de chacune, dites marginales, en perdent une partie : la dépendance entre les deux. Le programme de l'option clôt la partie probabilités sur les « couples et vecteurs aléatoires » : loi conjointe et marginales, indépendance, covariance et corrélation, loi d'une somme de variables indépendantes, matrice de covariance d'un vecteur.
À retenir
- Pour un couple discret (X, Y), la loi conjointe est la donnée des pij = P(X = xi, Y = yj). Les lois marginales s'obtiennent en sommant : P(X = xi) = Σj pij et P(Y = yj) = Σi pij. Les marginales ne déterminent pas la loi conjointe.
- X et Y sont indépendantes si et seulement si pij = P(X = xi)·P(Y = yj) pour tous i et j ; pour un couple à densité, si la densité conjointe est le produit des densités marginales.
- Théorème de transfert : E(g(X, Y)) = Σ g(xi, yj)·pij. En particulier E(XY) se calcule sur la loi conjointe, et E(X + Y) = E(X) + E(Y) sans aucune hypothèse.
- Covariance : Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))] = E(XY) − E(X)·E(Y). Elle est bilinéaire et symétrique, Cov(X, X) = V(X), et V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2·Cov(X, Y).
- Indépendance entraîne covariance nulle ; la réciproque est fausse : X uniforme sur {−1 ; 0 ; 1} et Y = X² ont une covariance nulle et sont dépendantes.
- Coefficient de corrélation linéaire : ρ = Cov(X, Y)/(σX·σY), compris entre −1 et 1 ; |ρ| = 1 exactement quand Y est presque sûrement une fonction affine de X.
- Loi d'une somme de variables indépendantes à valeurs entières : P(X + Y = n) = Σk P(X = k)·P(Y = n − k). La somme de deux lois de Poisson indépendantes de paramètres λ et μ suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.
Loi conjointe, lois marginales, indépendance
| Y = 0 | Y = 1 | Loi de X | |
|---|---|---|---|
| X = 0 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
| X = 1 | 0,2 | 0,4 | 0,6 |
| Loi de Y | 0,5 | 0,5 | 1 |
Sur ce tableau, P(X = 0, Y = 0) = 0,3 alors que P(X = 0)·P(Y = 0) = 0,4 × 0,5 = 0,2 : X et Y ne sont pas indépendantes. E(X) = 0,6, E(Y) = 0,5 et E(XY) = 1 × 1 × 0,4 = 0,4, d'où Cov(X, Y) = 0,4 − 0,6 × 0,5 = 0,1. Avec V(X) = 0,6 × 0,4 = 0,24 et V(Y) = 0,25, on obtient V(X + Y) = 0,24 + 0,25 + 2 × 0,1 = 0,69.
Loi conditionnelle : si P(X = xi) > 0, la loi de Y sachant X = xi est donnée par P(Y = yj | X = xi) = pij/P(X = xi). Sur le tableau, P(Y = 1 | X = 1) = 0,4/0,6 = 2/3, alors que P(Y = 1) = 1/2 : l'information sur X modifie la loi de Y, ce qui est une autre façon de lire la dépendance.
Covariance, corrélation, matrice de covariance
Si X et Y sont indépendantes, E(XY) = E(X)·E(Y), donc Cov(X, Y) = 0 et V(X + Y) = V(X) + V(Y). La réciproque est fausse. Pour un vecteur aléatoire X = (X1, …, Xn) dont les composantes ont un moment d'ordre 2, la matrice de covariance Σ a pour coefficients Cov(Xi, Xj) : elle est symétrique, et positive, car pour tout vecteur de réels a, V(a1X1 + … + anXn) = Σi Σj ai·aj·Cov(Xi, Xj) ≥ 0.
X uniforme sur {−1 ; 0 ; 1} et Y = X². E(X) = 0 et E(XY) = E(X³) = 0, donc Cov(X, Y) = 0 − 0 × E(Y) = 0. Pourtant P(X = 0, Y = 1) = 0, alors que P(X = 0)·P(Y = 1) = (1/3) × (2/3) = 2/9 : X et Y sont dépendantes — Y est même une fonction de X.
Confusions fréquentes
- Covariance nulle ne signifie pas indépendance
- Le calcul Cov = 0 ne suffit jamais à conclure à l'indépendance ; il faut vérifier la factorisation de la loi conjointe sur toutes les cases.
- La variance d'une somme n'est pas toujours la somme des variances
- V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2·Cov(X, Y) : le terme de covariance ne disparaît que pour des variables non corrélées, en particulier indépendantes.
Loi d'une somme de variables indépendantes
X et Y indépendantes, de lois de Poisson de paramètres λ et μ. Pour tout entier n, P(X + Y = n) = Σk e^(−λ)·λ^k/k! · e^(−μ)·μ^(n−k)/(n − k)!, pour k de 0 à n. En factorisant e^(−(λ+μ))/n! et en reconnaissant les coefficients binomiaux, la somme vaut e^(−(λ+μ))·(λ + μ)^n/n! : X + Y suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.
| Lois de X et Y, indépendantes | Loi de X + Y |
|---|---|
| Binomiales B(n, p) et B(m, p), même p | B(n + m, p) |
| Poisson de paramètres λ et μ | Poisson de paramètre λ + μ |
| Normales N(m1, σ1²) et N(m2, σ2²) | N(m1 + m2, σ1² + σ2²) |
Confusions fréquentes
- L'indépendance est indispensable
- La formule de convolution et les stabilités du tableau supposent l'indépendance : X + X, où X suit une loi de Poisson de paramètre λ, ne suit pas une loi de Poisson de paramètre 2λ, puisqu'elle ne prend que des valeurs paires.
Pour une QRC sur un tableau de loi conjointe : ajouter d'abord les marges, puis tester une case pour l'indépendance, calculer E(XY) sur le tableau, enfin la covariance par E(XY) − E(X)·E(Y). Cet ordre évite les recalculs.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Les lois marginales d'un couple suffisent à reconstituer sa loi conjointe.Voir le corrigé
Faux
Elles la déterminent seulement si les variables sont indépendantes ; deux couples de mêmes marges peuvent avoir des lois conjointes différentes.
2.Deux variables aléatoires indépendantes, de variances finies, ont toujours une covariance nulle.Voir le corrigé
Vrai
L'indépendance donne E(XY) = E(X)·E(Y), donc Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)·E(Y) = 0.
3.Deux variables de covariance nulle sont indépendantes.Voir le corrigé
Faux
X uniforme sur {−1 ; 0 ; 1} et Y = X² sont non corrélées et pourtant dépendantes, Y étant une fonction de X.
4.La matrice de covariance d'un vecteur aléatoire est symétrique et positive.Voir le corrigé
Vrai
Cov(Xi, Xj) = Cov(Xj, Xi), et la forme quadratique associée est la variance d'une combinaison linéaire, toujours positive ou nulle.
5.E(X + Y) = E(X) + E(Y) exige que X et Y soient indépendantes.Voir le corrigé
Faux
La linéarité de l'espérance vaut sans hypothèse d'indépendance ; c'est la variance de la somme qui en dépend.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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