Fiche de coursOption de QRC — catégorie A

Espace probabilisé, axiomes de Kolmogorov et dénombrement

18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Une tribu est stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire.

Toute question de probabilité commence par une modélisation : quel est l'univers Ω des issues, quels sous-ensembles sont des événements, quelle probabilité les mesure. Le programme de l'option place en tête « dénombrement » et « espace de probabilités » : les axiomes de Kolmogorov et leurs conséquences d'une part, les outils de comptage — listes, arrangements, combinaisons — d'autre part, qui servent dès que l'univers est fini et les issues équiprobables. Dans une QRC, la justification du modèle pèse ici autant que le calcul.

À retenir

Un espace probabilisé est un triplet (Ω, 𝒜, P) : Ω l'univers, 𝒜 une tribu d'événements — contenant Ω, stable par complémentaire et par réunion dénombrable —, P une probabilité, c'est-à-dire une application de 𝒜 dans [0 ; 1] telle que P(Ω) = 1 et σ-additive.
σ-additivité : pour des événements deux à deux incompatibles A1, A2, …, P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + … . En découlent P(∅) = 0, P(Ā) = 1 − P(A), la croissance de P et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Continuité monotone : pour une suite croissante d'événements, P de la réunion est la limite des P(An) ; pour une suite décroissante, P de l'intersection est la limite des P(An).
Sur un univers fini muni de l'équiprobabilité, P(A) = card(A)/card(Ω) : calculer une probabilité revient à compter, à condition de compter dans le même modèle au numérateur et au dénominateur.
Listes de p éléments pris parmi n avec répétition : n^p. Arrangements, listes sans répétition : n!/(n − p)!. Permutations de n objets : n!. Combinaisons, parties à p éléments : C(n, p) = n!/(p!(n − p)!).
L'ordre compte-t-il, la répétition est-elle possible ? Ces deux questions choisissent l'outil. Un tirage simultané se modélise par des combinaisons, un tirage successif sans remise par des arrangements, un tirage avec remise par des listes.
Formule du binôme : (a + b)^n = Σ C(n, k)·a^k·b^(n−k) pour k de 0 à n ; avec a = b = 1, la somme des C(n, k) vaut 2^n, le nombre de parties d'un ensemble à n éléments.

Les axiomes de Kolmogorov et leurs premières conséquences

Une tribu 𝒜 sur Ω contient Ω, est stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable ; elle l'est donc aussi par intersection dénombrable. Une probabilité P sur (Ω, 𝒜) vérifie P(Ω) = 1 et la σ-additivité. Sur un univers fini ou dénombrable, on prend pour tribu l'ensemble de toutes les parties, et P est entièrement déterminée par les probabilités des issues élémentaires, positives et de somme 1.

Conséquences des axiomes à savoir démontrer

Propriété	Démonstration en une ligne
P(∅) = 0	Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ … réunion disjointe : la σ-additivité impose P(∅) = 0
P(Ā) = 1 − P(A)	Ω est la réunion disjointe de A et Ā
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)	B = A ∪ (B \ A), réunion disjointe, et P(B \ A) ≥ 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	A ∪ B = A ∪ (B \ A) et B = (A ∩ B) ∪ (B \ A), deux réunions disjointes
P(∪An) ≤ ΣP(An)	Inégalité de Boole : on rend les An disjoints en retirant à chacun les précédents

On lance indéfiniment un dé équilibré. Soit An l'événement « aucun 6 lors des n premiers lancers » : P(An) = (5/6)^n. La suite (An) est décroissante et son intersection est « jamais de 6 ». Par continuité monotone, P(jamais de 6) = lim (5/6)^n = 0 : obtenir un 6 un jour est presque sûr.

Un événement de probabilité nulle n'est pas impossible : la suite infinie sans 6 existe, elle a seulement une probabilité nulle.

Compter : listes, arrangements, permutations, combinaisons

Choisir l'outil en deux questions

Situation	Ordre	Répétition	Nombre
Code de p chiffres pris parmi n symboles	oui	oui	n^p
Podium de p personnes parmi n	oui	non	n!/(n − p)!
Rangement de n objets distincts	oui	non	n!
Comité de p personnes parmi n	non	non	C(n, p) = n!/(p!(n − p)!)
Anagrammes d'un mot de n lettres dont n1, …, nk identiques	oui	lettres répétées	n!/(n1!·…·nk!)

Mains de 5 cartes tirées simultanément dans un jeu de 32 : C(32, 5) = (32 × 31 × 30 × 29 × 28)/120 = 201 376 mains équiprobables. Mains contenant exactement deux as : C(4, 2) × C(28, 3) = 6 × 3 276 = 19 656, d'où une probabilité de 19 656/201 376, environ 0,098. Mains sans as : C(28, 5) = 98 280, d'où P(au moins un as) = 1 − 98 280/201 376, environ 0,512.

Le passage au complémentaire transforme « au moins un » en un seul calcul au lieu de quatre.

Le mot FINANCES compte 8 lettres dont deux N. Permuter les deux N ne change pas le mot : le nombre d'anagrammes est 8!/2! = 40 320/2 = 20 160.

Coefficients binomiaux, et les deux fautes de modélisation

Propriétés des coefficients binomiaux : C(n, p) = C(n, n − p) (choisir les p retenus revient à choisir les n − p exclus) ; relation de Pascal C(n, p) = C(n − 1, p − 1) + C(n − 1, p) (selon qu'un élément fixé est retenu ou non) ; formule du binôme (a + b)^n = Σ C(n, k)·a^k·b^(n−k), valable dans tout anneau pour a et b qui commutent.

Confusions fréquentes

Compter dans le même modèle en haut et en bas: Si Ω est l'ensemble des mains non ordonnées, l'événement se compte aussi en mains non ordonnées. Mélanger arrangements au numérateur et combinaisons au dénominateur fausse le résultat d'un facteur p!.
L'équiprobabilité se justifie: Elle découle du protocole : cartes bien battues, dé équilibré, tirage au hasard. La somme de deux dés, par exemple, n'est pas équiprobable sur {2, …, 12} : 7 est six fois plus probable que 2.

Dans une QRC, écrire explicitement l'univers choisi, son cardinal et la raison de l'équiprobabilité avant tout calcul : c'est le socle du raisonnement, et ce qui évite les erreurs de facteur.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Une tribu est stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire.Voir le corrigé
Vrai
Ce sont, avec l'appartenance de Ω, les axiomes d'une tribu ; la stabilité par intersection dénombrable en découle.
2.Un événement de probabilité nulle est l'ensemble vide.Voir le corrigé
Faux
Obtenir une suite infinie de lancers sans aucun 6 est possible mais de probabilité nulle ; on parle d'événement négligeable, qui n'est pas l'ensemble vide.
3.Le nombre de façons de choisir un comité de 3 personnes parmi 10 est 720.Voir le corrigé
Faux
720 est le nombre d'arrangements, où l'ordre compte ; un comité est une combinaison : C(10, 3) = 120.
4.Pour deux événements quelconques, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).Voir le corrigé
Vrai
La formule découle de l'additivité appliquée aux réunions disjointes A ∪ (B \ A) et (A ∩ B) ∪ (B \ A).
5.La somme des coefficients binomiaux C(n, k), pour k de 0 à n, vaut 2^n.Voir le corrigé
Vrai
C'est la formule du binôme en a = b = 1, ou le nombre total de parties d'un ensemble à n éléments.
6.La somme des résultats de deux dés équilibrés est équiprobable sur les valeurs de 2 à 12.Voir le corrigé
Faux
Sur les 36 couples équiprobables, la somme 7 est obtenue 6 fois et la somme 2 une seule fois.

Textes de référence

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