Lois géométrique, hypergéométrique, de Poisson ; lois uniforme, exponentielle, normale, khi-deux, Student

Deux questions organisent le choix d'une loi : la variable compte-t-elle un résultat discret — un rang, un nombre d'événements — ou mesure-t-elle une grandeur continue — une durée, une position ? Et l'expérience se répète-t-elle à l'identique et indépendamment, ou tire-t-elle sans remise dans une population finie ? Le tableau qui suit rassemble situation type, support, paramètres, espérance et variance pour les neuf lois du programme, au-delà de Bernoulli et de la binomiale déjà connues.

La loi géométrique de paramètre p modélise le rang du premier succès dans une répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli : P(X = k) vaut (1 − p) puissance (k − 1), multiplié par p, pour k entier supérieur ou égal à 1. Son absence de mémoire s'écrit ainsi : sachant qu'aucun succès n'est survenu lors des n premières épreuves, la probabilité d'attendre encore k épreuves est la même qu'au départ — les tirages passés n'informent en rien sur l'attente restante.

La loi binomiale négative de paramètres r et p donne le rang X du r-ième succès dans une répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli de paramètre p : le r-ième succès survient à l'épreuve k quand les k − 1 premières comptent exactement r − 1 succès et que la k-ième en est un, d'où P(X = k) = C(k − 1, r − 1)·p^r·(1 − p)^(k − r) pour k ≥ r. X est la somme de r variables géométriques de paramètre p indépendantes, attentes successives entre deux succès : E(X) = r/p et V(X) = r(1 − p)/p². Pour r = 1, on retrouve la loi géométrique. Une autre convention compte les insuccès avant le r-ième succès, Y = X − r.

La loi hypergéométrique compte le nombre de succès obtenus en tirant n éléments sans remise dans une population de taille N qui comporte K succès : P(X = k) vaut le nombre de combinaisons de k parmi K, multiplié par le nombre de combinaisons de (n − k) parmi (N − K), le tout divisé par le nombre de combinaisons de n parmi N. Quand N est très grand devant n, chaque tirage modifie à peine la composition restante et la loi hypergéométrique s'approche d'une loi binomiale de paramètres n et p égal à K divisé par N.

La loi uniforme sur un intervalle [a, b] attribue la même densité à chaque valeur : la densité vaut 1 divisé par (b − a) sur l'intervalle, nulle ailleurs. Elle modélise l'absence de préférence, par exemple l'instant d'arrivée d'un usager dans une plage horaire connue.

La loi exponentielle de paramètre λ modélise une durée d'attente avant un événement qui survient à taux constant : sa densité vaut λ multiplié par e puissance (−λt), pour t positif ou nul, et la probabilité de dépasser une durée t vaut P(T > t) = e puissance (−λt). Comme la géométrique, elle est sans mémoire : sachant qu'une durée s s'est déjà écoulée sans événement, la probabilité d'attendre encore un temps t est la même qu'au départ, P(T > s + t sachant T > s) = P(T > t).

Quand n est grand et p petit, de sorte que le produit n multiplié par p reste modéré, la loi binomiale de paramètres n et p est approchée par une loi de Poisson de paramètre λ = n multiplié par p. L'approximation est d'autant meilleure que n dépasse largement 30 et que p reste petit devant 1 : c'est le régime des événements rares sur un grand nombre d'essais, contrôle qualité ou dossiers non conformes dans un grand lot.

Quand n est grand et p ni trop proche de 0 ni de 1, la loi binomiale est approchée par une loi normale d'espérance n multiplié par p et de variance n multiplié par p et par (1 − p) ; la règle usuelle demande que n multiplié par p et n multiplié par (1 − p) valent chacun au moins 5. Standardiser la variable, Z égal à (X moins l'espérance) divisé par l'écart type, ramène tout calcul à la loi normale centrée réduite, dont la table donne les quantiles : 1,96 encadre 95 % des valeurs, 2,576 en encadre 99 %.

La loi du khi-deux à n degrés de liberté est la loi de la somme des carrés de n variables normales centrées réduites indépendantes : elle sert à comparer une variance observée à une variance théorique, et à tester l'indépendance de deux caractères qualitatifs. La loi de Student à n degrés de liberté est le rapport d'une variable normale centrée réduite et de la racine carrée d'une variable du khi-deux à n degrés de liberté, indépendante, divisée par n : elle remplace la loi normale quand l'écart type d'une population normale est inconnu et estimé sur un petit échantillon. Quand n augmente, la loi de Student tend vers la loi normale centrée réduite ; la loi du khi-deux, d'espérance n et de variance 2n, devient approximativement normale après centrage et réduction, (χ² − n)/√(2n) tendant vers la normale centrée réduite.

Pour choisir entre Poisson et normale comme approximation de la binomiale : p petit et n multiplié par p modéré, penser Poisson ; n multiplié par p et n multiplié par (1 − p) tous deux confortablement au-dessus de 5, penser normale. Les deux tiennent parfois ensemble, et donnent alors des résultats proches.