Calcul matriciel, déterminants, diagonalisation, trigonalisation
19 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Le produit matriciel A × B est toujours égal à B × A.
Une matrice condense un système d'équations ou une application linéaire en un tableau de nombres, sur lequel des opérations calculables remplacent un raisonnement géométrique. Cette fiche couvre, pour l'option de l'épreuve 2 d'inspecteur, le produit matriciel, le déterminant et l'inversibilité, puis la réduction : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation. Elle traite les deux niveaux sur des matrices 2 × 2 et 3 × 3, avec chaque résultat recalculé, puis la question de réduction du sujet de 2026 et le premier cas pratique du sujet zéro.
À retenir
- Le produit matriciel A × B se calcule ligne par colonne ; il n'est en général pas commutatif, A × B différant de B × A même pour deux matrices carrées de même taille.
- Une matrice carrée est inversible s'il existe une matrice B telle que A × B = B × A = I ; c'est équivalent à un déterminant non nul, à un rang égal à la taille de la matrice, et à l'absence de solution non nulle au système homogène associé.
- Déterminant d'une matrice 2 × 2 de lignes (a ; b) et (c ; d) : a × d − b × c. Déterminant d'une matrice 3 × 3 par la règle de Sarrus : somme de trois produits diagonaux descendants, moins la somme de trois produits diagonaux montants.
- Propriétés utiles : det(A × B) = det(A) × det(B), det de la transposée de A égale det(A), et un déterminant nul signale des lignes ou des colonnes liées, donc une matrice non inversible et un rang strictement inférieur à la taille.
- La méthode du pivot résout un système linéaire en combinant les équations pour éliminer progressivement des inconnues ; elle donne directement le rang du système et le nombre de solutions, unique, infini ou nul.
- Une valeur propre λ et un vecteur propre v non nul associés vérifient A × v = λ × v ; les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique, det(A − λ × I).
- Une matrice est diagonalisable quand la somme des dimensions de ses sous-espaces propres égale sa taille ; toute matrice symétrique réelle l'est toujours, et toute matrice complexe, même non diagonalisable, reste trigonalisable.
Produit matriciel, déterminant et inversibilité
Le terme en ligne i, colonne j du produit A × B s'obtient en combinant la ligne i de A avec la colonne j de B, terme à terme puis en additionnant. Cette construction n'est pas symétrique en A et B : rien n'assure que A × B égale B × A, et c'est en général faux, même pour deux matrices carrées de même taille — le produit matriciel n'est pas commutatif.
Soit A la matrice de lignes (1 ; 2) et (0 ; 1), et B la matrice de lignes (1 ; 0) et (1 ; 1). Le produit A × B a pour terme en ligne 1, colonne 1 : 1×1 + 2×1 = 3 ; en ligne 1, colonne 2 : 1×0 + 2×1 = 2 ; en ligne 2, colonne 1 : 0×1 + 1×1 = 1 ; en ligne 2, colonne 2 : 0×0 + 1×1 = 1. Donc A × B a pour lignes (3 ; 2) et (1 ; 1). Le produit B × A donne, par le même calcul, les lignes (1 ; 2) et (1 ; 3). Les deux résultats diffèrent.
Confusions fréquentes
- Le produit matriciel n'est pas commutatif
- A × B et B × A peuvent différer, comme le montre l'exemple ci-dessus ; l'ordre des facteurs se conserve à chaque étape d'un calcul.
- Déterminant nul ne signifie pas matrice nulle
- Une matrice non nulle peut avoir un déterminant nul, dès que deux lignes ou deux colonnes sont liées ; c'est ce qui signale la non-inversibilité, pas une matrice remplie de zéros.
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Produit | det(A × B) égale det(A) × det(B) |
| Transposée | det de la transposée de A égale det(A) |
| Inversibilité | det(A) = 0 équivaut à un rang strictement inférieur à la taille de A |
| Facteur scalaire | det(k × A) égale k puissance n multiplié par det(A), pour une matrice n × n |
Le déterminant d'une matrice 2 × 2 de lignes (a ; b) et (c ; d) vaut a×d − b×c. Pour la matrice de lignes (4 ; 3) et (2 ; 5) : 4×5 − 3×2 = 20 − 6 = 14, non nul, la matrice est inversible. Pour la matrice de lignes (2 ; 4) et (1 ; 2) : 2×2 − 4×1 = 4 − 4 = 0 ; la première ligne égale deux fois la seconde, les lignes sont liées, la matrice n'est pas inversible.
La règle de Sarrus calcule le déterminant d'une matrice 3 × 3 en recopiant ses deux premières colonnes à droite, puis en additionnant les trois produits diagonaux descendants et en soustrayant les trois produits diagonaux montants. Pour la matrice de lignes (1 ; 2 ; 0), (0 ; 1 ; 3) et (2 ; 1 ; 1) : les diagonales descendantes donnent 1×1×1 = 1, 2×3×2 = 12 et 0×0×1 = 0, soit une somme de 13 ; les diagonales montantes donnent 0×1×2 = 0, 1×3×1 = 3 et 2×0×1 = 0, soit une somme de 3. Le déterminant vaut 13 − 3 = 10 : la matrice est inversible.
Pour une matrice carrée A de taille n, quatre affirmations sont équivalentes : A est inversible ; det(A) est non nul ; le rang de A vaut n ; le système homogène A × X = 0 n'a que la solution nulle. Vérifier l'une suffit à établir les trois autres, ce qui permet de choisir la méthode la plus rapide selon la matrice donnée.
Rang, systèmes linéaires et méthode du pivot
La méthode du pivot résout un système linéaire en combinant les équations pour faire apparaître des zéros sous la diagonale, une inconnue après l'autre : on choisit une équation comme pivot, on l'utilise pour éliminer cette inconnue des équations suivantes, puis on répète sur les équations restantes. Le nombre d'équations non nulles obtenues à la fin donne le rang du système, et ce rang, comparé au nombre d'inconnues, détermine le nombre de solutions.
Le système x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 s'élimine ainsi : la deuxième équation moins deux fois la première donne −3y − z = −9, soit 3y + z = 9 ; la troisième moins la première donne y − 2z = −4. En tirant z = 9 − 3y de la première équation réduite et en le reportant dans la seconde, y − 2(9 − 3y) = −4, soit 7y = 14, donc y = 2, puis z = 9 − 6 = 3, puis x = 6 − 2 − 3 = 1. Vérification dans la deuxième équation de départ : 2×1 − 2 + 3 = 3. Le système a pour unique solution (1 ; 2 ; 3) : sa matrice est de rang 3, plein rang pour trois inconnues.
| Situation | Nombre de solutions |
|---|---|
| Rang égal au nombre d'inconnues | Solution unique |
| Rang inférieur, système compatible | Une infinité de solutions |
| Rang inférieur, système incompatible | Aucune solution |
Valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation
Un réel λ est valeur propre d'une matrice carrée A quand il existe un vecteur v non nul tel que A × v = λ × v ; v est alors un vecteur propre associé à λ. Les valeurs propres sont exactement les racines du polynôme caractéristique de A, det(A − λ × I), et le sous-espace propre associé à λ est l'ensemble des solutions de (A − λ × I) × v = 0. Pour une matrice triangulaire, det(A − λ × I) est le produit des (aᵢᵢ − λ) : ses valeurs propres sont ses termes diagonaux.
Soit A la matrice symétrique de lignes (2 ; 1) et (1 ; 2). Son polynôme caractéristique vaut (2 − λ)² − 1, qui se développe en λ² − 4λ + 3 et se factorise en (λ − 1)(λ − 3) : les valeurs propres sont 1 et 3. Pour λ = 3, (2 − 3)v1 + v2 = 0 donne v1 = v2 : le vecteur propre (1 ; 1) convient. Pour λ = 1, (2 − 1)v1 + v2 = 0 donne v1 = −v2 : le vecteur propre (1 ; −1) convient. A étant symétrique réelle, elle est diagonalisable, et ces deux vecteurs propres sont orthogonaux : leur produit scalaire vaut 1×1 + 1×(−1) = 0.
| Cas | Diagonalisable ? | Exemple |
|---|---|---|
| Valeurs propres distinctes en nombre égal à la taille | Toujours | Lignes (2 ; 1) et (1 ; 2), valeurs propres 1 et 3 |
| Valeur propre multiple, sous-espace propre de même dimension | Oui | La matrice identité, ou une matrice déjà diagonale |
| Valeur propre multiple, sous-espace propre plus petit | Non, seulement trigonalisable | Lignes (1 ; 1) et (0 ; 1), valeur propre 1 double, sous-espace de dimension 1 |
| Matrice symétrique réelle | Toujours, dans une base orthonormée | Lignes (2 ; 1) et (1 ; 2) |
Confusions fréquentes
- Un vecteur propre est par définition non nul
- Le vecteur nul vérifie trivialement A × 0 = λ × 0 pour tout λ, ce qui n'apprend rien ; 0 peut être valeur propre, mais le vecteur propre associé, lui, ne l'est jamais.
- Diagonalisable n'est pas automatique
- Il faut que le polynôme caractéristique soit scindé et que, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre égale l'ordre de la racine dans le polynôme caractéristique ; quand il est scindé sans que cette égalité tienne, la matrice n'est que trigonalisable. Sur R, la rotation de lignes (0 ; −1) et (1 ; 0), sans valeur propre réelle, n'est même pas trigonalisable.
Soit B la matrice de lignes (1 ; 1) et (0 ; 1). Son polynôme caractéristique vaut (1 − λ)², une racine double λ = 1. Le sous-espace propre associé vérifie (1 − 1)v1 + v2 = 0, soit v2 = 0 : il est engendré par le seul vecteur (1 ; 0), de dimension 1, inférieure à l'ordre 2 de la racine. B n'est donc pas diagonalisable ; elle est déjà sous forme triangulaire, donc trigonalisable sans aucun calcul supplémentaire.
Diagonaliser une matrice A revient à l'écrire A = P × D × P⁻¹, où D est diagonale et P rassemble en colonnes une base de vecteurs propres. L'intérêt pratique tient aux puissances : A puissance n égale P × D puissance n × P⁻¹, et D puissance n s'obtient en élevant chaque terme diagonal à la puissance n, ce qui évite de répéter n fois le produit matriciel.
Pour A de lignes (2 ; 1) et (1 ; 2), le calcul direct de A² donne, ligne 1 : 2×2 + 1×1 = 5 et 2×1 + 1×2 = 4 ; ligne 2 : 1×2 + 2×1 = 4 et 1×1 + 2×2 = 5 ; soit les lignes (5 ; 4) et (4 ; 5). Par la diagonalisation A = P × D × P⁻¹ avec D de termes diagonaux 3 et 1, la même valeur s'obtient en élevant 3 et 1 au carré, puis en repassant dans la base d'origine : les deux méthodes coïncident, ce qui confirme le calcul direct.
Exercice n° 3 du sujet de 2026, question 3 : A, matrice carrée d'ordre n ≥ 2 à 2 sur la diagonale et 1 ailleurs, s'écrit A = I + J, où J a tous ses coefficients égaux à 1. J est de rang 1 : son noyau, l'hyperplan x₁ + x₂ + … + xₙ = 0, de dimension n − 1, est son sous-espace propre pour la valeur propre 0 ; et J·(1, 1, …, 1) = n·(1, 1, …, 1), valeur propre n. Comme A·v = v + J·v, A a les mêmes vecteurs propres, avec les valeurs propres 1 (d'ordre n − 1, l'hyperplan) et n + 1 (simple, la droite engendrée par (1, 1, …, 1)) ; les dimensions des sous-espaces propres font n − 1 + 1 = n. A étant symétrique réelle, le théorème spectral fournit P dans le groupe orthogonal Oₙ(R), dont les colonnes forment une base orthonormée de vecteurs propres (P⁻¹ = ᵗP), et D = diag(n + 1, 1, …, 1), telles que A = PDP⁻¹. Contrôles : la trace de A, 2n, égale (n + 1) + (n − 1) × 1, et det(A) = n + 1.
Cas pratique n° 1 du sujet zéro de l'option : u(P) = 3XP' + (X² − 1)P'' sur R₂[X], base (1, X, X²). u(1) = 0, u(X) = 3X et u(X²) = 3X·2X + (X² − 1)·2 = 8X² − 2 : la matrice de u a pour colonnes (0 ; 0 ; 0), (0 ; 3 ; 0) et (−2 ; 0 ; 8), soit les lignes (0 ; 0 ; −2), (0 ; 3 ; 0) et (0 ; 0 ; 8). Elle est triangulaire supérieure : ses valeurs propres sont ses termes diagonaux, 0, 3 et 8, distinctes, donc u est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite. Ker u = Vect(1) ; E₃ = Vect(X) ; pour E₈, u(P) = 8P avec P = a + bX + cX² donne −2c = 8a et 3b = 8b, soit b = 0 et c = −4a : E₈ = Vect(1 − 4X²). Contrôle : u(1 − 4X²) = −4(8X² − 2) = 8(1 − 4X²).
Pour une réduction, toujours faire deux contrôles avant de conclure : la somme des valeurs propres doit égaler la somme des termes diagonaux de A, et leur produit doit égaler det(A) — ici 1 + 3 = 4, la somme des termes diagonaux de A, et 1 × 3 = 3 = det(A), puisque 2×2 − 1×1 = 3.
Se tester : vrai ou faux ?
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1.Le produit matriciel A × B est toujours égal à B × A.Voir le corrigé
Faux
Le produit matriciel n'est en général pas commutatif, comme le montrent deux matrices 2 × 2 simples dont les produits diffèrent selon l'ordre.
2.Un déterminant nul signale qu'une matrice carrée n'est pas inversible.Voir le corrigé
Vrai
Déterminant non nul et inversibilité sont deux formulations équivalentes de la même propriété pour une matrice carrée.
3.La règle de Sarrus permet de calculer le déterminant d'une matrice carrée 4 × 4.Voir le corrigé
Faux
Elle est propre aux matrices 3 × 3 : somme de trois produits diagonaux descendants moins la somme de trois produits diagonaux montants. Au-delà, le déterminant se calcule par développement selon une ligne ou une colonne.
4.Un vecteur propre associé à une valeur propre est nécessairement non nul.Voir le corrigé
Vrai
Le vecteur nul vérifie trivialement l'équation propre pour toute valeur de λ, ce qui ne fournit aucune information utile.
5.Toute matrice carrée réelle est diagonalisable.Voir le corrigé
Faux
Il faut que le polynôme caractéristique soit scindé sur R et que la multiplicité géométrique de chaque valeur propre égale sa multiplicité algébrique : la rotation de lignes (0 ; −1) et (1 ; 0), sans valeur propre réelle, ne l'est pas. Une matrice symétrique réelle l'est toujours, pas une matrice quelconque.
6.Toutes les matrices carrées complexes sont trigonalisables.Voir le corrigé
Vrai
La trigonalisation ne suppose aucune condition sur les valeurs propres, contrairement à la diagonalisation.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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