Polynômes annulateurs, théorème de Cayley-Hamilton, réduction de Jordan
20 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Toute matrice carrée est annulée par son polynôme caractéristique.
Une matrice carrée A peut être « annulée » par un polynôme : P(A) = 0. Le théorème de Cayley-Hamilton en fournit toujours un, le polynôme caractéristique, et les polynômes annulateurs deviennent alors des outils de calcul — inverse, puissances — et un critère de diagonalisation. Quand une matrice n'est pas diagonalisable, la réduction de Jordan donne la forme la plus simple qui reste accessible : des blocs formés d'une valeur propre et d'une partie nilpotente. L'exercice de 2026 demandait exactement ce chemin : un polynôme annulateur de degré 2, l'inverse qui s'en déduit, puis une diagonalisation.
À retenir
- Pour P = a0 + a1X + … + akX^k, on pose P(A) = a0·I + a1·A + … + ak·A^k. P est annulateur de A si P(A) = 0.
- Théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique χA(X) = det(X·I − A) annule A. En taille 2, cela s'écrit A² − tr(A)·A + det(A)·I = 0.
- Le polynôme minimal de A est l'annulateur unitaire de plus petit degré ; il divise tout polynôme annulateur, donc χA, et a les mêmes racines que χA : les valeurs propres.
- Critère : A est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, c'est-à-dire si son polynôme minimal l'est.
- Un annulateur donne l'inverse : si P(A) = 0 avec P(0) ≠ 0, on isole le terme constant et A·Q(A) = −P(0)·I fournit A⁻¹ = −Q(A)/P(0).
- Réduction de Jordan : si χA est scindé — toujours le cas sur C —, A est semblable à une matrice diagonale par blocs Jk(λ) = λ·Ik + Nk, où Nk est nilpotente, avec des 1 juste au-dessus de la diagonale.
- Pour une valeur propre λ, le nombre de blocs vaut dim Ker(A − λI) et la somme de leurs tailles vaut la multiplicité de λ dans χA ; A est diagonalisable exactement quand tous les blocs sont de taille 1.
Polynômes annulateurs et théorème de Cayley-Hamilton
Théorème de Cayley-Hamilton : pour toute matrice carrée A de taille n, le polynôme caractéristique χA(X) = det(X·I − A), de degré n, vérifie χA(A) = 0. Le polynôme minimal μA, annulateur unitaire de degré minimal, divise χA et tout autre annulateur ; ses racines sont exactement les valeurs propres de A. Toute valeur propre λ de A est racine de tout polynôme annulateur P, car A·v = λ·v entraîne P(A)·v = P(λ)·v.
A = [[1 ; 2] ; [3 ; 4]] : tr(A) = 5 et det(A) = 4 − 6 = −2, donc A² − 5A − 2I = 0. En isolant le terme constant, A·(A − 5I) = 2I, d'où A⁻¹ = (A − 5I)/2 = [[−2 ; 1] ; [3/2 ; −1/2]]. Contrôle : la première ligne de A fois la première colonne de A⁻¹ donne 1·(−2) + 2·(3/2) = 1.
Soit J la matrice de taille n dont tous les coefficients valent 1, et A = I + J. Chaque coefficient de J² est une somme de n produits 1 × 1 : J² = n·J. En remplaçant J par A − I : (A − I)² = n·(A − I), soit A² − (n + 2)·A + (n + 1)·I = 0. Le polynôme X² − (n + 2)X + (n + 1) = (X − 1)(X − n − 1) est scindé à racines simples : A est diagonalisable, de valeurs propres possibles 1 et n + 1. Son terme constant n + 1 est non nul : A·((n + 2)·I − A) = (n + 1)·I, donc A⁻¹ = ((n + 2)·I − A)/(n + 1).
Confusions fréquentes
- Racine d'un annulateur n'implique pas valeur propre
- Toute valeur propre est racine de tout annulateur, mais la réciproque est fausse : A = I est annulée par (X − 1)(X − 2), et 2 n'est pas valeur propre de I.
- On ne remplace pas X par A dans le déterminant
- Cayley-Hamilton ne se démontre pas en écrivant det(A·I − A) = 0 : dans χA(X), X est une indéterminée scalaire, et l'on substitue A dans le polynôme développé, pas dans le déterminant.
Diagonaliser grâce à un polynôme annulateur ; calculer des puissances
| Propriété de P | Conséquence pour A |
|---|---|
| P scindé à racines simples | A est diagonalisable |
| P(0) ≠ 0 | A est inversible, et A⁻¹ est un polynôme en A |
| P de degré d | Toute puissance A^k est combinaison de I, A, …, A^(d−1) : reste de la division de X^k par P |
| λ racine de P | λ est seulement candidate au rang de valeur propre |
Puissances par division euclidienne : si P(A) = 0 et si X^k = P·Q + R avec deg R < deg P, alors A^k = R(A). Pour P = (X − 1)(X − n − 1) par exemple, R est de degré au plus 1 et s'obtient en évaluant X^k en 1 et en n + 1.
Quand la diagonalisation échoue : la réduction de Jordan
Un bloc de Jordan de taille k et de valeur propre λ est Jk(λ) = λ·Ik + Nk, où Nk a des 1 sur la sur-diagonale et des 0 ailleurs ; Nk est nilpotente, Nk^k = 0. Théorème : si le polynôme caractéristique de A est scindé, ce qui est toujours le cas sur C, A est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan, unique à l'ordre des blocs près. Pour chaque valeur propre λ : le nombre de blocs vaut dim Ker(A − λI), la somme des tailles vaut la multiplicité de λ dans χA, et la taille du plus grand bloc vaut la multiplicité de λ dans le polynôme minimal. Le théorème de Cayley-Hamilton se lit alors bloc par bloc : (Jk(λ) − λI)^k = Nk^k = 0.
A = [[2 ; 1] ; [0 ; 2]] = 2I + N avec N = [[0 ; 1] ; [0 ; 0]], N² = 0. χA = (X − 2)² et Ker(A − 2I) = Ker(N) est une droite : un seul bloc, de taille 2, donc A n'est pas diagonalisable — son polynôme minimal est (X − 2)², à racine double. Comme 2I et N commutent, la formule du binôme s'applique et s'arrête au second terme : A^k = 2^k·I + k·2^(k−1)·N = [[2^k ; k·2^(k−1)] ; [0 ; 2^k]].
Confusions fréquentes
- Le binôme exige que les matrices commutent
- (D + N)^k se développe comme un binôme de nombres seulement si DN = ND ; c'est le cas pour λI et N, pas pour deux matrices quelconques.
Pour décider de la diagonalisabilité, vérifier que le polynôme caractéristique est scindé, puis comparer pour chaque valeur propre la dimension du sous-espace propre à la multiplicité ; si une seule est en défaut, la matrice n'est pas diagonalisable, et l'écart indique la forme de Jordan.
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Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Toute matrice carrée est annulée par son polynôme caractéristique.Voir le corrigé
Vrai
C'est le théorème de Cayley-Hamilton, valable sans hypothèse sur la matrice, diagonalisable ou non.
2.Toute racine d'un polynôme annulateur de A est valeur propre de A.Voir le corrigé
Faux
Seul le sens inverse est vrai : la matrice identité est annulée par (X − 1)(X − 2) et n'a que 1 pour valeur propre.
3.Une matrice qui admet un polynôme annulateur scindé à racines simples est diagonalisable.Voir le corrigé
Vrai
C'est le critère de diagonalisation par polynôme annulateur, équivalent au caractère scindé à racines simples du polynôme minimal.
4.La matrice [[2 ; 1] ; [0 ; 2]] est diagonalisable puisque sa seule valeur propre est réelle.Voir le corrigé
Faux
Son sous-espace propre est une droite alors que la valeur propre 2 est double : c'est un bloc de Jordan de taille 2, non diagonalisable.
5.Sur C, toute matrice carrée est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan.Voir le corrigé
Vrai
Sur C, le polynôme caractéristique est toujours scindé, ce qui est la seule hypothèse du théorème de Jordan.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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