Produit scalaire, projections orthogonales, Gram-Schmidt
18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
Testez-vous · sans compte
Vrai ou faux ?
Le produit scalaire de deux vecteurs peut être négatif.
Un espace euclidien ajoute à l'espace vectoriel une notion de longueur et d'angle, par le produit scalaire. Le programme de l'option de l'épreuve 2 d'inspecteur cite le produit scalaire, la matrice des projections orthogonales, les isométries usuelles et le procédé de Gram-Schmidt ; cette fiche y ajoute l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les bases orthonormées, et traite la projection orthogonale sur un sous-espace — dont la méthode des moindres carrés, vue en ajustement affine, est un cas particulier. Cette fiche traite chaque notion sur des vecteurs de R au cube, avec chaque résultat recalculé.
À retenir
- Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive : linéaire par rapport à chaque vecteur, u·v = v·u, et u·u positif ou nul, nul seulement pour le vecteur nul.
- La norme associée au produit scalaire vaut la racine carrée de u·u ; elle mesure la longueur d'un vecteur, et la distance entre deux vecteurs u et v vaut la norme de u − v.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : la valeur absolue de u·v est toujours inférieure ou égale au produit des normes de u et de v, avec égalité exactement quand u et v sont colinéaires.
- Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul ; une base orthonormée est une base dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et tous de norme 1.
- Le procédé de Gram-Schmidt transforme une famille libre en famille orthonormée, en retranchant à chaque nouveau vecteur ses projections sur les vecteurs déjà orthonormés, puis en normant le résultat.
- La projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace est le point du sous-espace le plus proche ; la distance du vecteur au sous-espace est la norme de l'écart entre le vecteur et sa projection.
- Une matrice orthogonale vérifie que sa transposée est aussi son inverse, ses colonnes forment une base orthonormée, et son déterminant vaut +1 ou −1 ; la méthode des moindres carrés est un cas particulier de projection orthogonale.
Produit scalaire, norme et inégalité de Cauchy-Schwarz
Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une application qui à deux vecteurs u et v associe un réel noté u·v, et qui vérifie trois propriétés : bilinéarité, linéaire séparément en u et en v ; symétrie, u·v = v·u ; positivité stricte, u·u est toujours positif ou nul, et vaut 0 seulement si u est le vecteur nul. Sur R au carré ou R au cube munis des coordonnées usuelles, le produit scalaire canonique est la somme des produits des coordonnées correspondantes.
Dans R³, soit u = (1 ; 2 ; 2) et v = (2 ; −1 ; 2). Leur produit scalaire vaut 1×2 + 2×(−1) + 2×2 = 2 − 2 + 4 = 4. La norme de u vaut la racine de 1² + 2² + 2², soit la racine de 9, donc 3 ; la norme de v vaut de même la racine de 4 + 1 + 4, soit la racine de 9, donc 3 également. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne |4| ≤ 3 × 3 = 9, vérifiée strictement ; le cosinus de l'angle entre u et v vaut 4 ÷ 9.
| Propriété | Ce qu'elle impose | Conséquence pratique |
|---|---|---|
| Bilinéarité | (u + u') · v = u·v + u'·v, et (λu) · v = λ(u·v) | Le produit scalaire se développe terme à terme, comme un produit de sommes |
| Symétrie | u·v = v·u | L'ordre des deux vecteurs ne change pas le résultat |
| Positivité stricte | u·u ≥ 0, et u·u = 0 seulement si u = 0 | u·u définit la norme au carré ; une norme nulle signale le vecteur nul |
Confusions fréquentes
- Cauchy-Schwarz porte sur une valeur absolue
- L'inégalité compare |u·v| au produit des normes, pas u·v directement : un produit scalaire négatif ne viole rien tant que sa valeur absolue reste inférieure au produit des normes.
- La norme n'est pas le produit scalaire
- La norme est la racine carrée de u·u, un nombre positif ; le produit scalaire de deux vecteurs distincts peut être négatif, nul ou positif.
Orthogonalité, bases orthonormées, matrices orthogonales
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux quand u·v = 0. Une base orthonormée est une base dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et chacun de norme 1 ; dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent directement par produit scalaire avec chaque vecteur de la base, sans résoudre de système.
Soit e1 = (1 ; 1 ; 0) et e2 = (1 ; 0 ; 1), une famille libre de R³. Le procédé de Gram-Schmidt pose f1 = e1 = (1 ; 1 ; 0), de norme la racine de 2. Puis f2 = e2 − (e2·f1 ÷ f1·f1) × f1 ; comme e2·f1 = 1×1 + 0×1 + 1×0 = 1 et f1·f1 = 2, f2 = (1 ; 0 ; 1) − 0,5 × (1 ; 1 ; 0) = (0,5 ; −0,5 ; 1). Son produit scalaire avec f1 vaut 0,5 − 0,5 + 0 = 0 : l'orthogonalité est vérifiée. La norme de f2 vaut la racine de 0,25 + 0,25 + 1, soit la racine de 1,5. En normant f1 et f2, on obtient une base orthonormée du plan engendré par e1 et e2.
Une matrice carrée A est orthogonale quand sa transposée ᵗA est aussi son inverse : ᵗA × A égale la matrice identité. Ses colonnes forment alors une base orthonormée, et son déterminant vaut nécessairement +1 ou −1, puisque det(ᵗA) × det(A) = det(A)² = det(I) = 1.
Soit R la matrice de lignes (1 ÷ √2 ; 1 ÷ √2) et (1 ÷ √2 ; −1 ÷ √2). Son carré R × R donne, ligne 1 : 0,5 + 0,5 = 1 et 0,5 − 0,5 = 0 ; ligne 2 : 0,5 − 0,5 = 0 et 0,5 + 0,5 = 1 : R × R = I. R étant symétrique, sa transposée égale R, donc ᵗR × R = R × R = I : R est orthogonale. Son déterminant vaut (1 ÷ √2) × (−1 ÷ √2) − (1 ÷ √2) × (1 ÷ √2) = −0,5 − 0,5 = −1.
Projection orthogonale, distance à un sous-espace, moindres carrés
La projection orthogonale d'un vecteur w sur un sous-espace F, muni d'une base orthonormée (u1, …, uk), vaut la somme des (w·ui) × ui pour i de 1 à k : chaque coefficient w·ui est la coordonnée de la projection dans cette base. La distance de w au sous-espace F est la norme du vecteur w moins sa projection ; c'est la plus petite distance entre w et un point de F, atteinte uniquement en la projection.
Soit le plan P d'équation x − y − z = 0, engendré par e1 = (1 ; 1 ; 0) et e2 = (1 ; 0 ; 1), et w = (3 ; 1 ; 1). Avec le vecteur normal n = (1 ; −1 ; −1), de norme la racine de 3, le coefficient de w le long de n vaut (w·n) ÷ (n·n) = (3 − 1 − 1) ÷ 3 = 1 ÷ 3. La projection de w sur P vaut w moins ce coefficient fois n, soit (3 − 1/3 ; 1 + 1/3 ; 1 + 1/3) = (8/3 ; 4/3 ; 4/3) ; on vérifie qu'elle appartient à P : 8/3 − 4/3 − 4/3 = 0. La distance de w à P vaut la norme de w moins sa projection, soit la norme de (1/3 ; −1/3 ; −1/3), c'est-à-dire la racine de 3 × (1/3)², soit la racine de 1/3, donc 1 ÷ √3, soit √3 ÷ 3.
Matrice d'une projection orthogonale et isométries usuelles. Si (u1, …, uk) est une base orthonormée de F, rangée en colonnes dans une matrice U, la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique est U·ᵗU ; pour un plan de R³ de vecteur normal n, c'est I − n·ᵗn/(ᵗn·n). Une matrice de projection orthogonale P vérifie P² = P et ᵗP = P. La symétrie orthogonale par rapport à F a pour matrice S = 2P − I : elle est orthogonale et symétrique, de déterminant −1 pour la réflexion par rapport à un plan de R³. Dans le plan, les isométries vectorielles sont les rotations, de matrice de lignes (cos θ ; −sin θ) et (sin θ ; cos θ), de déterminant 1, et les réflexions, de matrice de lignes (cos 2α ; sin 2α) et (sin 2α ; −cos 2α), de déterminant −1 : la matrice R ci-dessus en est une, pour 2α = π/4.
Pour le plan P d'équation x − y − z = 0, n = (1 ; −1 ; −1) et ᵗn·n = 3 : la matrice de la projection vaut I − (1/3)·n·ᵗn, soit 1/3 fois la matrice de lignes (2 ; 1 ; 1), (1 ; 2 ; −1) et (1 ; −1 ; 2). Appliquée à w = (3 ; 1 ; 1), elle donne (1/3)·(8 ; 4 ; 4), la projection déjà trouvée. Sa trace vaut 2, la dimension du plan. La réflexion par rapport à P a pour matrice 2P − I, soit 1/3 fois la matrice de lignes (1 ; 2 ; 2), (2 ; 1 ; −2) et (2 ; −2 ; 1), dont le carré vaut I et le déterminant −1.
La méthode des moindres carrés, utilisée pour ajuster un nuage de points par une droite, est un cas particulier de projection orthogonale : on cherche, dans l'espace des valeurs observées, le point le plus proche appartenant au sous-espace des suites de valeurs parfaitement alignées sur une droite. Minimiser la somme des carrés des écarts revient exactement à minimiser une distance euclidienne, donc à projeter orthogonalement sur ce sous-espace.
Confusions fréquentes
- Projeter suppose une base orthonormée, pas une base quelconque
- La formule somme des (w·ui) × ui n'est valable que si les ui sont orthonormés ; sur une base seulement libre, il faut d'abord l'orthonormaliser par Gram-Schmidt, ou résoudre un système.
- La distance à un sous-espace n'est pas la norme du vecteur lui-même
- C'est la norme de l'écart entre le vecteur et sa projection ; confondre les deux revient à ignorer que le vecteur peut déjà appartenir en partie au sous-espace.
Pour contrôler une projection, vérifier deux points : le résultat appartient bien au sous-espace, son équation s'y annule, et l'écart entre le vecteur et sa projection est orthogonal à chaque vecteur de la base du sous-espace.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Le produit scalaire de deux vecteurs peut être négatif.Voir le corrigé
Vrai
Rien n'interdit un produit scalaire négatif ; seule la valeur u·u, produit d'un vecteur par lui-même, est toujours positive ou nulle.
2.L'inégalité de Cauchy-Schwarz compare directement u·v au produit des normes, sans valeur absolue.Voir le corrigé
Faux
Elle compare la valeur absolue de u·v au produit des normes ; un produit scalaire négatif ne viole rien tant que sa valeur absolue reste inférieure.
3.Une base orthonormée est une base dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1.Voir le corrigé
Vrai
C'est la définition exacte ; elle permet de lire les coordonnées d'un vecteur par simple produit scalaire.
4.Le procédé de Gram-Schmidt transforme n'importe quelle famille, même liée, en base orthonormée.Voir le corrigé
Faux
Il suppose une famille libre au départ ; une famille liée produirait un vecteur nul lors du procédé, impossible à normer.
5.La distance d'un vecteur à un sous-espace est la norme du vecteur lui-même.Voir le corrigé
Faux
C'est la norme de l'écart entre le vecteur et sa projection orthogonale sur ce sous-espace, pas la norme du vecteur.
6.Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut toujours +1 ou −1.Voir le corrigé
Vrai
Puisque le carré du déterminant égale det(ᵗA) × det(A) = det(I) = 1, seules ces deux valeurs sont possibles.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
Accès DGFiP est un service indépendant : il n’est ni affilié ni validé par la Direction générale des Finances publiques. En cas de doute, le texte officiel fait foi.