Calcul littéral, développement, factorisation, identités remarquables
11 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
(a + b)² est égal à a² + b².
Le calcul littéral remplace des nombres par des lettres pour raisonner sur tous les cas à la fois. Au QCM, il se présente sous quatre formes : réduire une expression, la développer, la factoriser, ou calculer sa valeur pour un nombre donné. Les trois identités remarquables font gagner du temps dans les deux sens, et servent même en calcul mental : 101² ou 102 × 98 se trouvent sans poser d'opération.
À retenir
- Réduire : on regroupe les termes semblables. 4x + 3 − x + 7 = 3x + 10 ; les x avec les x, les nombres avec les nombres.
- 2x + 3x = 5x mais 2x × 3x = 6x² : l'addition additionne les coefficients, la multiplication multiplie coefficients et lettres.
- Développer : k(a + b) = ka + kb, et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (double distributivité).
- Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser : repérer un facteur commun (6x² + 9x = 3x(2x + 3)) ou reconnaître une identité (x² − 25 = (x − 5)(x + 5)).
- Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : −(x − 3) = −x + 3.
- Calcul mental : 101² = (100 + 1)² = 10 201 ; 99² = (100 − 1)² = 9 801 ; 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 9 996.
Réduire et développer
Un monôme en x est une expression axⁿ, avec a réel non nul et n entier naturel : 3x² en est un. Un polynôme est une somme finie de monômes, comme 3x² − x + 2 ; la somme vide donne le polynôme nul. Après réduction, le degré d'un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul : ici, 2. Une expression littérale se réduit en additionnant les termes de même nature : les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble, les constantes ensemble. Développer, c'est transformer un produit en somme par la distributivité : 3(2x − 5) = 6x − 15, chaque terme de la parenthèse étant multiplié par 3. Pour un produit de deux parenthèses, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde : (x + 2)(x − 5) = x² − 5x + 2x − 10 = x² − 3x − 10. On réduit toujours après avoir développé.
| Forme développée | Forme factorisée | Exemple |
|---|---|---|
| a² + 2ab + b² | (a + b)² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| a² − 2ab + b² | (a − b)² | (x − 4)² = x² − 8x + 16 |
| a² − b² | (a + b)(a − b) | (2x − 1)(2x + 1) = 4x² − 1 |
Confusions fréquentes
- (a + b)² n'est pas a² + b²
- Le double produit 2ab ne disparaît pas : (x + 3)² = x² + 6x + 9, et non x² + 9. Vérifier avec x = 1 : (1 + 3)² = 16 alors que 1 + 9 = 10.
- Somme et produit de termes en x
- 3x + 2x = 5x ; 3x × 2x = 6x². Écrire 5x² pour une somme, ou 6x pour un produit, sont les deux erreurs symétriques.
- Le signe moins devant une parenthèse
- −(x − 3) = −x + 3. Tous les signes de la parenthèse changent, pas seulement le premier.
Factoriser
Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : transformer une somme en produit. On cherche d'abord un facteur commun à tous les termes, le plus grand possible : dans 6x² + 9x, le facteur commun est 3x, et 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Si aucun facteur commun n'apparaît, on tente une identité remarquable : x² − 49 est une différence de deux carrés, x² − 7², donc (x − 7)(x + 7) ; x² + 10x + 25 est le carré (x + 5)². Une factorisation se vérifie en redéveloppant le produit obtenu.
4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3) ; et x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Au QCM, une factorisation proposée se teste en une seconde avec une valeur simple : pour x = 0 ou x = 1, l'expression de départ et la proposition doivent donner le même nombre. Une seule différence élimine la proposition.
Valeur d'une expression et calcul mental
Calculer la valeur d'une expression pour x donné : remplacer chaque x par le nombre, entre parenthèses s'il est négatif, puis appliquer les priorités. Pour x = 3, 2x² − 3x + 1 = 2 × 9 − 9 + 1 = 10 ; pour x = −2, x² − x = 4 + 2 = 6. Les identités remarquables accélèrent le calcul mental des carrés et des produits proches d'une dizaine ou d'une centaine : 101² = 100² + 2 × 100 + 1 = 10 201 ; 49² = (50 − 1)² = 2 500 − 100 + 1 = 2 401 ; 103 × 97 = 100² − 3² = 9 991.
Un terrain carré de 21 m de côté a une aire de 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441 m².
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Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.(a + b)² est égal à a² + b².Voir le corrigé
Faux
Il manque le double produit : (a + b)² = a² + 2ab + b². Pour a = b = 1 : 4 d'un côté, 2 de l'autre.
2.(a − b)(a + b) = a² − b².Voir le corrigé
Vrai
En développant, les termes ab et −ab s'annulent : il reste a² − b². C'est la troisième identité remarquable.
3.3x + 2x = 5x².Voir le corrigé
Faux
Une somme de termes en x reste en x : 3x + 2x = 5x. C'est le produit 3x × 2x qui vaut 6x².
4.Développer, c'est transformer un produit en somme.Voir le corrigé
Vrai
3(2x − 5) devient 6x − 15. L'opération inverse, de la somme vers le produit, est la factorisation.
5.99² se calcule comme (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.Voir le corrigé
Vrai
C'est l'identité (a − b)² = a² − 2ab + b² appliquée à a = 100 et b = 1.
6.−(x − 3) est égal à −x − 3.Voir le corrigé
Faux
Le signe moins change tous les signes de la parenthèse : −(x − 3) = −x + 3.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Utiliser le calcul littéral — ressource Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Exo7 — Polynômes, définitions — Exo7 — auteurs du cours universitaire (nouvel onglet)
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