Périmètres, aires et volumes des figures et solides usuels
10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
L'aire d'un triangle est égale à base × hauteur.
Une clôture se mesure en mètres, une pelouse en mètres carrés, une piscine en mètres cubes ou en litres : le périmètre, l'aire et le volume répondent à trois questions différentes, et le QCM aime les faire confondre. Les formules du collège tiennent sur une page ; les pièges sont ailleurs : le rayon pris pour le diamètre, la division par 2 oubliée dans le triangle, et l'effet d'un agrandissement sur les aires et les volumes.
À retenir
- Périmètre : longueur du contour, en unités de longueur. Rectangle 2 × (L + l) ; carré 4c ; cercle 2πr, soit π × diamètre.
- Aires des figures planes : rectangle L × l ; carré c² ; triangle base × hauteur ÷ 2 ; parallélogramme base × hauteur ; trapèze (B + b) × h ÷ 2 ; losange d × d' ÷ 2 ; disque πr².
- Volumes : cube c³ ; pavé droit L × l × h ; prisme et cylindre aire de la base × hauteur, soit πr²h pour le cylindre ; pyramide et cône aire de la base × hauteur ÷ 3 ; boule 4πr³ ÷ 3.
- Unités : aire en unité², volume en unité³ ; 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc un pavé de 20 × 10 × 5 cm contient exactement 1 L.
- Agrandissement de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³. Doubler les côtés quadruple l'aire.
- Valeur de π : 3,14 suffit au QCM ; un disque de rayon 5 cm a une aire de 78,5 cm² et un périmètre de 31,4 cm.
- Lire l'énoncé : « diamètre 10 cm » signifie rayon 5 cm ; « hauteur » désigne la hauteur perpendiculaire à la base, pas un côté oblique.
Périmètres et aires des figures planes
| Figure | Périmètre | Aire | Exemple |
|---|---|---|---|
| Carré de côté c | 4c | c² | c = 4 cm : P = 16 cm, A = 16 cm² |
| Rectangle L × l | 2(L + l) | L × l | 8 × 5 cm : P = 26 cm, A = 40 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | somme des trois côtés | b × h ÷ 2 | b = 10, h = 6 : A = 30 cm² |
| Parallélogramme | somme des côtés | b × h | b = 7, h = 4 : A = 28 cm² |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | somme des côtés | (B + b) × h ÷ 2 | B = 10, b = 6, h = 4 : A = 32 cm² |
| Losange (diagonales d, d') | 4c | d × d' ÷ 2 | d = 6, d' = 8 : A = 24 cm² |
| Disque de rayon r | 2πr | πr² | r = 5 : P ≈ 31,4 cm, A ≈ 78,5 cm² |
Le périmètre additionne des longueurs, l'aire multiplie deux longueurs : c'est pourquoi l'aire s'exprime en unités carrées. Pour le disque, le périmètre est proportionnel au rayon (2πr) et l'aire au carré du rayon (πr²) : doubler le rayon double le périmètre mais quadruple l'aire. Pour une figure composée, on la découpe en figures simples dont on additionne les aires, ou l'on retire une partie évidée d'une figure pleine.
Confusions fréquentes
- Le triangle : diviser par 2
- Base 10 cm et hauteur 6 cm : aire 30 cm², pas 60. Le triangle est la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur.
- Diamètre ou rayon
- Un cercle de diamètre 10 cm a un rayon de 5 cm : périmètre 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm. Utiliser 10 comme rayon double le résultat.
- Périmètre et aire ne se comparent pas
- Un carré de 4 cm de côté a 16 pour périmètre (cm) et 16 pour aire (cm²) : même nombre, grandeurs différentes. Deux rectangles de même périmètre peuvent avoir des aires très différentes.
Volumes des solides
| Solide | Volume | Exemple |
|---|---|---|
| Cube d'arête c | c³ | c = 3 cm : 27 cm³ |
| Pavé droit L × l × h | L × l × h | 20 × 10 × 5 cm : 1 000 cm³ = 1 L |
| Prisme droit | aire de la base × hauteur | base 12 cm², h = 5 cm : 60 cm³ |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | πr²h | r = 2, h = 10 : ≈ 125,6 cm³ |
| Pyramide | aire de la base × hauteur ÷ 3 | base 9 cm², h = 4 cm : 12 cm³ |
| Cône | πr²h ÷ 3 | r = 3, h = 10 : ≈ 94,2 cm³ |
| Boule de rayon r | 4πr³ ÷ 3 | r = 3 : ≈ 113 cm³ |
Prisme et cylindre se calculent de la même façon : l'aire de la base multipliée par la hauteur. Pyramide et cône valent le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. Le volume s'exprime en unités cubes ; pour une capacité, on convertit par 1 dm³ = 1 L : un aquarium de 60 cm × 30 cm × 40 cm a un volume de 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
Une citerne cylindrique de rayon 1 m et de hauteur 2 m contient 3,14 × 1² × 2 = 6,28 m³, soit 6 280 L.
Agrandissements et réductions
Quand toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par k, son périmètre est multiplié par k, son aire par k² et son volume par k³. Doubler les côtés d'un carré multiplie son aire par 4 ; tripler les dimensions d'un cube multiplie son volume par 27. Réduire de moitié divise l'aire par 4 et le volume par 8. Une carte à l'échelle 1/1 000 réduit les aires réelles d'un facteur 1 000 000 : 1 cm² sur la carte représente 1 000 000 cm², soit 100 m².
Avant de calculer, vérifier l'unité de la réponse attendue : une aire en cm² proposée parmi des longueurs en cm signale une confusion, et une proposition qui n'est pas de l'ordre de grandeur des autres est souvent celle obtenue en oubliant le carré ou le cube.
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1.L'aire d'un triangle est égale à base × hauteur.Voir le corrigé
Faux
Il faut diviser par 2 : le triangle est la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur. Base 10 et hauteur 6 donnent 30, pas 60.
2.Le périmètre d'un cercle de rayon r vaut 2πr.Voir le corrigé
Vrai
Il vaut aussi π × diamètre. Pour r = 5 cm : 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
3.1 litre correspond au volume d'un cube de 10 cm d'arête.Voir le corrigé
Vrai
Un cube de 10 cm d'arête a un volume de 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L.
4.Doubler le rayon d'un disque double son aire.Voir le corrigé
Faux
L'aire vaut πr² : doubler r la multiplie par 4. C'est le périmètre, 2πr, qui double.
5.Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions.Voir le corrigé
Vrai
V = L × l × h : 20 cm × 10 cm × 5 cm = 1 000 cm³.
6.Le volume d'une pyramide est égal à l'aire de sa base multipliée par sa hauteur.Voir le corrigé
Faux
Il faut diviser par 3 : la pyramide vaut le tiers du prisme de même base et de même hauteur.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
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