Équations et inéquations du premier degré à une inconnue
10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
La solution de 3x + 5 = 20 est x = 5.
Trouver un nombre inconnu à partir d'une égalité : c'est l'équation du premier degré, au programme du collège et des QCM de catégorie C et de contrôleur, où elle sert aussi à résoudre les petits problèmes d'âges, de partages et de prix. L'inéquation ajoute une seule difficulté, mais elle piège souvent : le sens de l'inégalité change quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
À retenir
- Une équation du premier degré s'écrit ax + b = c avec a ≠ 0 ; ajouter un même nombre aux deux membres, ou les multiplier ou diviser par un même nombre non nul, conserve ses solutions.
- Méthode : développer si besoin, regrouper les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre, diviser par le coefficient de x s'il est non nul, vérifier en remplaçant. S'il est nul, examiner l'égalité obtenue sans diviser.
- 3x + 5 = 20 donne x = 5 ; 2(x − 3) = 10 donne x = 8 ; 5x − 7 = 2x + 8 donne x = 5 ; x/4 + 2 = 6 donne x = 16.
- Une inéquation se résout comme une équation, sauf qu'en multipliant ou divisant par un nombre négatif on change le sens de l'inégalité : −2x ≤ 8 donne x ≥ −4.
- 3x + 2 > 11 donne x > 3 ; 4 − x = x + 10 donne x = −3.
- Mettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire chaque phrase, résoudre, vérifier avec l'énoncé.
- Une équation du type 7x = 0 a pour solution 0 ; une équation qui aboutit à 0 = 5 n'a pas de solution, à 0 = 0 en a une infinité.
Résoudre une équation
Pour conserver les solutions, on ajoute ou soustrait la même expression des deux côtés, ou on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul. Pour 3x + 5 = 20, on retire 5 des deux côtés (3x = 15) puis on divise par 3 (x = 5). Pour 5x − 7 = 2x + 8, on retire 2x (3x − 7 = 8), on ajoute 7 (3x = 15), on divise (x = 5). Quand l'équation contient des parenthèses, on développe d'abord : 2(x − 3) = 10 devient 2x − 6 = 10, puis 2x = 16, x = 8. Quand elle contient une fraction, on peut multiplier tout par le dénominateur (x/4 + 2 = 6 devient x + 8 = 24) ou isoler d'abord la fraction (x/4 = 4) : dans les deux cas, x = 16.
| Équation | Geste clé | Solution | Vérification |
|---|---|---|---|
| 3x + 5 = 20 | Retirer 5, diviser par 3 | 5 | 3 × 5 + 5 = 20 |
| 2(x − 3) = 10 | Développer, puis isoler | 8 | 2 × (8 − 3) = 10 |
| 5x − 7 = 2x + 8 | Regrouper les x à gauche, les nombres à droite | 5 | 25 − 7 = 10 + 8 |
| 4 − x = x + 10 | Regrouper : 4 − 10 = 2x | −3 | 4 + 3 = −3 + 10 |
Un nombre augmenté de son double vaut 27 : x + 2x = 27, donc 3x = 27 et x = 9.
Résoudre une inéquation
Les mêmes gestes s'appliquent, avec une règle en plus : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. 3x + 2 > 11 donne 3x > 9 puis x > 3, sans changement. −2x ≤ 8 donne, en divisant par −2, x ≥ −4 : le « ≤ » devient « ≥ ». La solution d'une inéquation est un ensemble de nombres, que l'on peut représenter sur une droite graduée ; un crochet indique si la borne est comprise.
Confusions fréquentes
- Diviser par un négatif retourne l'inégalité
- −x > 5 signifie x < −5. Vérifier avec une valeur : x = −6 donne −(−6) = 6, qui est bien supérieur à 5.
- Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens
- Seules la multiplication et la division par un négatif inversent l'inégalité ; ajouter −3 des deux côtés ne la retourne pas.
- Ne pas confondre solution et vérification
- Après avoir trouvé x, remplacer dans l'équation d'origine : si l'égalité est fausse, une erreur de signe s'est glissée en chemin.
Mettre un problème en équation
Nommer l'inconnue avec précision (« soit l la largeur, en mètres »), traduire chaque phrase de l'énoncé en expression (la longueur vaut la largeur plus 3 : l + 3 ; le périmètre vaut 30 : 2l + 2(l + 3) = 30), résoudre (4l + 6 = 30, l = 6), puis répondre à la question posée avec l'unité (largeur 6 m, longueur 9 m) et vérifier (2 × 6 + 2 × 9 = 30).
Au QCM, si la mise en équation résiste, tester les propositions dans l'énoncé : la bonne réponse est celle qui rend toutes les phrases vraies. C'est légitime et souvent plus rapide.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La solution de 3x + 5 = 20 est x = 5.Voir le corrigé
Vrai
3x = 15 puis x = 5 ; vérification : 15 + 5 = 20.
2.Pour résoudre −2x ≤ 8, on divise par −2 sans changer le sens de l'inégalité.Voir le corrigé
Faux
Diviser par un négatif inverse le sens : x ≥ −4.
3.Ajouter le même nombre aux deux membres d'une inéquation ne change jamais son sens.Voir le corrigé
Vrai
Seules la multiplication et la division par un négatif retournent l'inégalité.
4.L'équation 2(x − 3) = 10 a pour solution x = 5.Voir le corrigé
Faux
2x − 6 = 10 donne 2x = 16, donc x = 8 ; vérification : 2 × 5 = 10.
5.L'équation 7x = 0 a pour solution x = 0.Voir le corrigé
Vrai
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ; 7 ne l'est pas, donc x = 0.
6.Une équation qui aboutit à 0 = 5 a une infinité de solutions.Voir le corrigé
Faux
0 = 5 est toujours faux : l'équation n'a aucune solution. C'est 0 = 0 qui en a une infinité.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Utiliser le calcul littéral — ressource Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Exo7 — Systèmes linéaires — Exo7 — auteurs du cours universitaire (nouvel onglet)
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