Systèmes de deux équations à deux inconnues
13 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
Testez-vous · sans compte
Vrai ou faux ?
La solution d'un système de deux équations à deux inconnues est un couple de valeurs vérifiant les deux équations.
Deux informations, deux inconnues : c'est la situation type des problèmes de concours, où l'on connaît un total et une différence, ou deux commandes de prix différents. Deux méthodes suffisent, la substitution et la combinaison, et le vrai travail consiste moins à résoudre qu'à poser correctement les deux équations à partir d'un énoncé en français.
À retenir
- Un système de deux équations à deux inconnues cherche le couple de valeurs qui vérifie les deux égalités en même temps.
- Méthode de substitution : on isole une inconnue dans l'une des équations, puis on la remplace dans l'autre, qui ne comporte alors plus qu'une inconnue.
- Méthode de combinaison (ou d'addition) : on multiplie les équations pour rendre les coefficients d'une inconnue opposés, puis on les additionne pour la faire disparaître.
- Trois cas possibles : un couple unique de solutions, aucune solution (les deux droites sont parallèles), ou une infinité (les deux équations décrivent la même droite).
- Vérifier le couple trouvé dans les deux équations de départ permet de repérer une erreur dans les transformations précédentes.
- Géométriquement, les équations du premier degré représentent deux droites ; les solutions sont leurs points communs : un point, aucun ou une droite entière.
- Poser le système consiste à nommer les inconnues avant d'écrire quoi que ce soit, puis à traduire chaque phrase de l'énoncé en une égalité.
Les deux méthodes, sur le même exemple
Système : x plus y égale 25, et 2x plus 4y égale 74. Par substitution : x égale 25 moins y, que l'on remplace dans la seconde équation, ce qui donne 2(25 − y) + 4y = 74, soit 50 + 2y = 74, donc y = 12 et x = 13. Par combinaison : on multiplie la première équation par 2, ce qui donne 2x + 2y = 50, puis on la soustrait de la seconde : 2y = 24, donc y = 12 et x = 13.
| Situation | Méthode pratique à envisager |
|---|---|
| Une inconnue a déjà un coefficient de 1 | Substitution |
| Les coefficients d'une inconnue sont opposés ou multiples | Combinaison |
| Les deux équations sont écrites sous la forme y égale … | Égalisation : on écrit que les deux expressions de y sont égales |
| Un énoncé en français | Poser d'abord, choisir la méthode ensuite |
Traduire un énoncé en système
Trois gestes, toujours les mêmes. On nomme : « soit x le nombre de … et y le nombre de … », avec l'unité. On traduit chaque information chiffrée en une égalité, une phrase après l'autre. On résout, puis on répond par une phrase qui reprend les unités — un QCM propose souvent la bonne valeur affectée à la mauvaise inconnue.
| Énoncé | Équation |
|---|---|
| « Au total, 25 objets » | x + y = 25 |
| « Les uns coûtent 2 €, les autres 4 €, pour 74 € en tout » | 2x + 4y = 74 |
| « Il y a trois fois plus de A que de B » | x = 3y |
| « La différence est de 8 » | x − y = 8 |
| « La somme des âges est 40, l'un a 6 ans de plus » | x + y = 40 et x = y + 6 |
Confusions fréquentes
- « Trois fois plus de A que de B » s'écrit x = 3y, pas 3x = y
- Le facteur porte sur la quantité la plus petite. Un test rapide : si y vaut 2, alors x doit valoir 6, ce que seule l'écriture x = 3y donne.
- Un système sans solution n'est pas un système mal résolu
- Quand la résolution aboutit à une égalité impossible du type 0 = 5, c'est que les droites sont parallèles : le système n'a pas de solution, et c'est une réponse valable.
- Une infinité de solutions se reconnaît à une identité
- Si la résolution aboutit à 0 = 0, les deux équations décrivent la même droite : tout point de cette droite convient.
- Répondre à la question posée, pas à celle qu'on a résolue
- Le calcul donne souvent d'abord l'inconnue dont on n'a pas besoin. Relire la question avant de choisir une proposition évite une erreur coûteuse au QCM.
Contrôler sans refaire le calcul
Pour repérer une erreur de transformation, substituer le couple trouvé dans les deux équations d'origine. Des équations transformées correctement ont les mêmes solutions ; les vérifier ne contrôle toutefois pas la justesse des transformations effectuées. Sur un QCM, on peut aussi partir des propositions et tester laquelle vérifie les deux égalités : cela peut éviter de résoudre le système.
Quand les deux inconnues ont une somme et une différence connues, il existe un raccourci : la plus grande vaut la demi-somme plus la demi-différence, la plus petite la demi-somme moins la demi-différence. Pour une somme de 40 et une différence de 6 : 23 et 17.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La solution d'un système de deux équations à deux inconnues est un couple de valeurs vérifiant les deux équations.Voir le corrigé
Vrai
Une valeur qui ne vérifie qu'une seule des deux équations n'est pas solution du système.
2.Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues n'admet jamais exactement deux solutions.Voir le corrigé
Vrai
Les deux droites sont sécantes, parallèles ou confondues : le système a une solution, aucune ou une infinité, jamais un nombre fini de solutions supérieur à 1.
3.La méthode de combinaison consiste à rendre opposés les coefficients d'une inconnue, puis à additionner les équations.Voir le corrigé
Vrai
L'inconnue disparaît, ce qui ramène le problème à une seule équation à une inconnue.
4.« Il y a trois fois plus de billets de 20 € que de billets de 50 € » se traduit par 3x = y, x étant le nombre de billets de 20 €.Voir le corrigé
Faux
Le facteur porte sur la quantité la plus petite : l'écriture correcte est x = 3y, ce que vérifie un test à y = 2.
5.Aboutir à l'égalité 0 = 5 signale un système sans solution.Voir le corrigé
Vrai
Les deux équations décrivent des droites parallèles distinctes : aucun couple ne les vérifie ensemble.
6.Vérifier un couple dans les équations transformées garantit que les transformations précédentes étaient correctes.Voir le corrigé
Faux
Un couple peut vérifier un système transformé à tort sans vérifier celui de départ. Le contrôle dans les deux équations d'origine permet de repérer cette erreur.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Exo7 — Systèmes linéaires — Exo7 — auteurs du cours universitaire (nouvel onglet)
Accès DGFiP est un service indépendant : il n’est ni affilié ni validé par la Direction générale des Finances publiques. En cas de doute, le texte officiel fait foi.