Résolution d'une expression factorisée du second degré (option mathématiques B)
13 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Une équation du second degré se résout sans formule dès qu'elle est écrite sous forme de produit : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Toute la technique consiste donc à obtenir cette forme — par une identité remarquable, par un facteur commun, ou par le discriminant quand rien ne se voit — puis à lire les solutions directement.
À retenir
- Règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Elle ne vaut que pour zéro, jamais pour une autre valeur.
- Une expression du type (x − a)(x − b) égale zéro a pour solutions a et b, confondues si a = b.
- Trois voies vers la forme factorisée : le facteur commun, les trois identités remarquables, et le discriminant quand aucune des deux premières ne s'applique.
- Les identités remarquables à connaître : le carré d'une somme, le carré d'une différence, et la différence de deux carrés, à reconnaître dans a² − b².
- Un carré parfait donne une racine double : x² + 6x + 9 se factorise en (x + 3) au carré, dont la seule solution est −3.
- Pour ax² + bx + c, avec a non nul, le discriminant b² − 4ac donne le nombre de solutions réelles : deux si positif, une double si nul, aucune si négatif.
- La forme factorisée sert aussi à étudier le signe : un trinôme change de signe à ses racines simples, mais garde le même signe de part et d'autre d'une racine double.
La règle du produit nul
Si un produit de deux facteurs vaut zéro, alors l'un au moins des deux facteurs vaut zéro — et réciproquement. C'est ce « et réciproquement » qui permet de conclure sans perdre ni ajouter de solution. La règle est propre à zéro : de (x − 2)(x − 3) = 6 on ne peut rien déduire directement, il faut développer, tout ramener d'un côté, puis factoriser à nouveau.
Résoudre (x − 3)(x + 5) = 0 : le premier facteur s'annule pour x = 3, le second pour x = −5. L'équation a donc exactement deux solutions, 3 et −5. Vérification : (3 − 3)(3 + 5) = 0 × 8 = 0, et (−5 − 3)(−5 + 5) = (−8) × 0 = 0.
| Forme | Solutions |
|---|---|
| (x − 3)(x + 5) = 0 | 3 et −5 |
| x(x − 7) = 0 | 0 et 7 |
| (2x − 1)(x + 4) = 0 | 0,5 et −4 |
| (x + 3)² = 0 | −3, racine double |
| 3(x − 2)(x − 6) = 0 | 2 et 6 ; le facteur 3 ne change rien |
Obtenir la forme factorisée
| Voie | Signe de reconnaissance | Exemple |
|---|---|---|
| Facteur commun | Le même terme apparaît partout | x² − 7x = x(x − 7) |
| Différence de deux carrés | Deux carrés séparés par un moins | x² − 9 = (x − 3)(x + 3) |
| Carré parfait | Le double produit est présent | x² + 6x + 9 = (x + 3)² |
| Discriminant | Aucune des trois précédentes | x² − 5x + 6 : Δ = 1, racines 2 et 3 |
Le discriminant vaut b² − 4ac pour une expression réelle ax² + bx + c, avec a non nul. S'il est strictement positif, il y a deux racines, obtenues par (−b ± racine du discriminant) ÷ 2a, et l'expression se factorise en a(x − x₁)(x − x₂). S'il est nul, il y a une racine double. S'il est négatif, l'expression ne se factorise pas en facteurs réels du premier degré et ne s'annule jamais : elle garde le signe de a.
Confusions fréquentes
- La règle du produit nul ne vaut que pour zéro
- De (x − 2)(x − 3) = 6, on ne peut pas déduire x − 2 = 6 ou x − 3 = 6. Il faut développer, ramener à zéro, puis refactoriser.
- Le signe de la solution est l'inverse de celui de la parenthèse
- (x + 5) s'annule en −5, pas en 5. C'est une erreur de signe classique sur ce type de question.
- Simplifier par x fait perdre une solution
- De x² = 7x, diviser par x donne x = 7 et fait disparaître la solution 0. On factorise : x(x − 7) = 0 donne bien 0 et 7.
- Un discriminant négatif n'est pas une erreur de calcul
- L'expression ne s'annule alors jamais et conserve le signe du coefficient de x² : « aucune solution » est une réponse valable.
Du produit nul au signe du produit
Une fois la forme factorisée obtenue, le signe se lit dans un tableau : on place les racines dans l'ordre croissant, on donne le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, et on multiplie. Avec deux racines distinctes, le produit est du signe du coefficient de x² à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles. Avec une racine double, il garde le signe de ce coefficient de part et d'autre et s'annule à la racine.
Pour (x − 2)(x − 6), les racines sont 2 et 6. Le produit est positif pour x inférieur à 2, négatif entre 2 et 6, positif au-delà de 6. En x = 4, on vérifie : (4 − 2)(4 − 6) = 2 × (−2) = −4, négatif comme annoncé.
Sur un QCM qui demande une racine, on peut tester les valeurs proposées : celle qui annule l'expression est une racine. Le nombre d'essais dépend de leur ordre ; deux essais ne suffisent pas à garantir qu'on trouvera la réponse.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.Voir le corrigé
Vrai
C'est la règle du produit nul, qui permet de conclure sans perdre ni ajouter de solution.
2.De l'égalité (x − 2)(x − 3) = 6, on peut déduire que x − 2 = 6 ou x − 3 = 6.Voir le corrigé
Faux
La règle du produit nul ne vaut que pour zéro : il faut développer, ramener à zéro, puis factoriser à nouveau.
3.L'équation (x + 5)(x − 3) = 0 admet pour solutions −5 et 3.Voir le corrigé
Vrai
Chaque facteur s'annule pour la valeur opposée au nombre qui figure dans la parenthèse.
4.Pour résoudre x² = 7x, on peut diviser les deux membres par x.Voir le corrigé
Faux
Cela ferait perdre la solution 0. On factorise : x(x − 7) = 0 donne les deux solutions 0 et 7.
5.Un discriminant nul signale une racine double.Voir le corrigé
Vrai
L'expression s'écrit a(x − x₀)², avec a non nul : elle ne s'annule qu'en x₀. Ce multiple d'un carré peut être négatif si a est négatif.
6.Une expression du second degré dont le discriminant est négatif change de signe deux fois.Voir le corrigé
Faux
Elle ne s'annule jamais et garde constamment le signe du coefficient de x².
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Utiliser le calcul littéral — ressource Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- MathSV — Fonctions usuelles : trinômes et exponentielle — Université Claude Bernard Lyon 1 (nouvel onglet)
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