Fiche de cours

Déductions, syllogismes et propositions vraies ou fausses

10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif, du concours de contrôleur et du concours d’inspecteur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

De « si A alors B » et « B est vrai », on peut déduire que A est vrai.

« Tous les inspecteurs sont fonctionnaires ; Marie est fonctionnaire ; donc… » : le raisonnement déductif consiste à tirer d'énoncés donnés ce qui en découle nécessairement, et rien de plus. Les QCM testent trois choses : la conséquence valide d'une implication, la négation correcte d'une phrase avec « tous » ou « aucun », et la résistance aux conclusions plausibles mais non prouvées.

À retenir

Une implication « si A alors B » permet deux déductions valides : de A on conclut B (modus ponens) ; de non-B on conclut non-A (modus tollens, ou contraposée).
Deux déductions invalides : de B conclure A (affirmation du conséquent) ; de non-A conclure non-B (négation de l'antécédent).
La contraposée de « si A alors B » est « si non-B alors non-A » ; elle est toujours équivalente à l'énoncé de départ.
La réciproque « si B alors A » n'est pas équivalente : elle peut être fausse alors que l'énoncé est vrai.
Négation de « tous les X sont Y » : « au moins un X n'est pas Y » ; négation de « aucun X n'est Y » : « au moins un X est Y ».
« Certains X sont Y » signifie seulement « il existe au moins un X qui est Y » ; cela ne dit rien des autres.
Un syllogisme valide relie deux prémisses par un terme commun : « tous les A sont B, tous les B sont C, donc tous les A sont C » ; avec « certains », la conclusion est souvent impossible.

Raisonner à partir d'une implication

Ce que « s'il pleut, le match est annulé » permet de conclure

On sait que…	Conclusion	Valide ?
Il pleut	Le match est annulé	Oui (modus ponens)
Le match n'est pas annulé	Il ne pleut pas	Oui (contraposée)
Le match est annulé	Il pleut	Non : il peut être annulé pour une autre raison
Il ne pleut pas	Le match a lieu	Non : rien n'est dit sur ce cas

Une implication « si A alors B » n’autorise pas la réciproque « si B alors A ». Dans l’exemple « si un agent est titulaire, il a réussi un concours », savoir qu’il a réussi ne suffit pas à le dire titulaire. « A seulement si B » exprime encore A → B : B est nécessaire à A. « A si et seulement si B » ajoute la réciproque B → A et autorise les deux sens.

« Tout agent qui travaille le samedi se repose le lundi. Nadia ne se repose pas le lundi. » Conclusion valide : Nadia ne travaille pas le samedi (contraposée).

Tous, aucun, certains : nier correctement

Négations

Énoncé	Négation correcte	Confusion à éviter
Tous les dossiers ont été traités	Au moins un dossier n'a pas été traité	Aucun dossier n'a été traité
Aucun contrôleur n'est en congé	Au moins un contrôleur est en congé	Tous les contrôleurs sont en congé
Certains agents parlent anglais	Aucun agent ne parle anglais	Certains agents ne parlent pas anglais
Il est faux qu'aucun candidat n'a réussi	Aucun candidat n'a réussi	Au moins un candidat a réussi (sens de l’énoncé, pas sa négation)

Confusions fréquentes

« Certains » n'exclut pas « tous »: En logique, « certains agents parlent anglais » reste vrai si tous le parlent. La seule conclusion sûre est qu'il en existe au moins un.
Le terme commun doit être pris en totalité: « Tous les inspecteurs sont fonctionnaires ; Marie est fonctionnaire » ne permet rien sur Marie : le terme commun « fonctionnaire » n'est pas pris en totalité dans la seconde prémisse. Le syllogisme valide serait « Marie est inspectrice, donc fonctionnaire ».

Vrais et faux : les énigmes de menteurs

Pour des affirmations portant sur la véracité des personnes, tester des hypothèses et vérifier chacune contre toutes les phrases. Rejeter celles qui conduisent à une contradiction. Il peut rester une ou plusieurs attributions cohérentes : ne retenir comme certaine qu’une conclusion vraie dans toutes les attributions restantes.

A dit « B ment », B dit « C ment », C dit « A et B mentent ». Si C disait vrai, A et B mentiraient ; mais B mentant signifierait que C dit vrai, et A mentant signifierait que B dit vrai : contradiction. Donc C ment, donc A ou B dit vrai ; B affirme que C ment, ce qui est exact, donc B dit vrai et A, qui accuse B, ment.

Une seule personne dit vrai : B.

Sur ces questions, écrire au brouillon les hypothèses sous forme de tableau vrai/faux fait gagner du temps et évite de refaire le raisonnement de tête trois fois.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.De « si A alors B » et « B est vrai », on peut déduire que A est vrai.Voir le corrigé
Faux
C'est l'affirmation du conséquent, un raisonnement invalide : B peut être vrai pour une autre raison que A.
2.La contraposée de « si A alors B » est « si non-B alors non-A ».Voir le corrigé
Vrai
La contraposée est logiquement équivalente à l'implication de départ ; c'est le fondement du modus tollens.
3.La négation de « tous les agents sont présents » est « aucun agent n'est présent ».Voir le corrigé
Faux
Il suffit d'un seul agent absent pour que « tous sont présents » soit faux : la négation est « au moins un agent est absent ».
4.« Certains contribuables paient l'impôt sur le revenu » signifie qu'au moins un contribuable le paie.Voir le corrigé
Vrai
« Certains » exprime l'existence d'au moins un cas, sans préjuger des autres.
5.De « tous les A sont B » et « tous les B sont C », on peut déduire « tous les A sont C ».Voir le corrigé
Vrai
C'est le syllogisme classique : le terme commun B est pris en totalité, la conclusion est nécessaire.
6.De « tous les A sont B » et « certains B sont C », on peut déduire « certains A sont C ».Voir le corrigé
Faux
Les B qui sont C peuvent tous être hors des A : aucune conclusion sur les A n'est possible.

Textes de référence

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