Dénombrement élémentaire et combinaisons simples
10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif, du concours de contrôleur et du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Avec 3 chemises et 2 pantalons, on peut former 5 tenues différentes.
Combien de menus avec trois entrées, quatre plats et deux desserts ? Combien de codes à quatre chiffres ? Combien de poignées de main entre huit personnes ? Le dénombrement compte des possibilités sans les lister. Trois outils de base : le principe multiplicatif pour les choix successifs, la factorielle pour les ordres possibles et la formule des paires pour les rencontres sans ordre. Selon la contrainte, il faut aussi distinguer des cas, retirer les possibilités interdites ou compter une union sans doublons.
À retenir
- Principe multiplicatif : quand on enchaîne des choix indépendants, on multiplie les nombres de possibilités. 3 entrées × 4 plats × 2 desserts = 24 menus.
- Codes et plaques : un code à 4 chiffres, avec répétition, donne 10⁴ = 10 000 possibilités ; deux lettres puis trois chiffres, avec répétition, donnent 26² × 10³ = 676 000.
- Sans répétition, le nombre de choix diminue à chaque étape : un code à 3 chiffres tous différents offre 10 × 9 × 8 = 720 possibilités.
- Ordres possibles de n objets distincts : n! = n × (n − 1) × … × 1. 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
- Podium (places ordonnées) : 5 coureurs, 3 places, 5 × 4 × 3 = 60 podiums.
- Paires sans ordre (poignées de main, matchs d'une poule, choix de 2 objets parmi n) : n × (n − 1) ÷ 2. Huit personnes : 28 poignées de main ; six équipes : 15 matchs.
- On additionne quand les cas s'excluent (« ou »), on multiplie quand ils s'enchaînent (« et puis »). Les nombres de 10 à 99 sont au nombre de 90 ; les nombres pairs à trois chiffres, 450.
Le principe multiplicatif
Quand une situation se construit par étapes successives et que chaque étape offre un nombre fixe de possibilités quel que soit le choix précédent, le nombre total de possibilités est le produit des possibilités de chaque étape. Un arbre de choix le montre : 3 entrées, puis pour chacune 4 plats, puis pour chaque couple 2 desserts, soit 3 × 4 × 2 = 24 branches. La règle vaut pour les codes (10 choix par chiffre), les plaques (26 choix par lettre) et les lancers combinés (un dé et une pièce : 6 × 2 = 12 issues).
| Situation | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Code à 4 chiffres, répétitions autorisées | 10 × 10 × 10 × 10 | 10 000 |
| Code à 3 chiffres tous différents | 10 × 9 × 8 | 720 |
| Plaque : 2 lettres puis 3 chiffres, répétition autorisée | 26 × 26 × 10 × 10 × 10 | 676 000 |
| Mot de passe de 2 lettres distinctes | 26 × 25 | 650 |
| Un dé et une pièce | 6 × 2 | 12 |
Confusions fréquentes
- 10 000 codes, pas 9 999
- Les codes à 4 chiffres vont de 0000 à 9999 : 10 000 possibilités. Compter « jusqu'à 9 999 » oublie le code 0000.
- Additionner au lieu de multiplier
- 3 chemises et 2 pantalons ne font pas 5 tenues mais 3 × 2 = 6 : chaque chemise se combine avec chaque pantalon.
- Sans répétition, les choix diminuent
- « Tous différents » ou « sans remise » signifie 10, puis 9, puis 8 possibilités, jamais 10 × 10 × 10.
Compter des ordres : la factorielle
Ranger n objets distincts dans un ordre revient à choisir le premier parmi n, le deuxième parmi les n − 1 restants, et ainsi de suite : n × (n − 1) × … × 2 × 1, noté n! (« factorielle n »). Quatre livres sur une étagère : 4! = 24 rangements ; cinq personnes en file : 5! = 120. Quand seules quelques places comptent, on s'arrête avant : un podium de 3 places parmi 5 coureurs se compte 5 × 4 × 3 = 60, sans multiplier par 2 × 1.
| n | n! | Situation |
|---|---|---|
| 3 | 6 | Trois personnes en file |
| 4 | 24 | Quatre livres sur une étagère |
| 5 | 120 | Cinq candidats dans un ordre de passage |
| 6 | 720 | Six équipes dans un classement |
Les anagrammes du mot RAPT (quatre lettres distinctes) sont au nombre de 4! = 24, dont un seul est le mot lui-même.
Compter des paires sans ordre
Quand l'ordre ne compte pas, on ne doit pas compter deux fois la même paire. Pour les poignées de main entre n personnes, chacune serre la main des n − 1 autres, soit n × (n − 1) gestes comptés du point de vue de chaque personne ; mais la poignée entre A et B a été comptée deux fois, une pour A et une pour B : on divise par 2. Huit personnes : 8 × 7 ÷ 2 = 28 poignées de main. La même formule compte les matchs d'une poule où chaque équipe rencontre chaque autre une fois (6 équipes : 15 matchs), les segments joignant n points, ou les façons de choisir 2 objets parmi n.
Dans une réunion de 10 personnes où chacun salue chacun, 10 × 9 ÷ 2 = 45 salutations ; si l'on demandait des « présentations » de A vers B et de B vers A, on ne diviserait pas par 2.
Vérifier si les rencontres sont ordonnées et comment elles ont été comptées. Pour n personnes qui rencontrent chacune toutes les autres, n × (n − 1) compte chaque paire deux fois : diviser par 2. Entre deux groupes distincts, le produit des deux effectifs compte chaque rencontre une fois : ne pas diviser.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Avec 3 chemises et 2 pantalons, on peut former 5 tenues différentes.Voir le corrigé
Faux
Chaque chemise se combine avec chaque pantalon : 3 × 2 = 6 tenues. On multiplie, on n'additionne pas.
2.Trois personnes peuvent se ranger en file de 6 façons différentes.Voir le corrigé
Vrai
3! = 3 × 2 × 1 = 6 : trois choix pour la première place, deux pour la deuxième, un pour la dernière.
3.Un code à 4 chiffres offre 9 999 combinaisons.Voir le corrigé
Faux
De 0000 à 9999, il y a 10⁴ = 10 000 codes. Le code 0000 compte.
4.Le nombre de poignées de main entre n personnes est n × (n − 1) ÷ 2.Voir le corrigé
Vrai
Chaque personne en salue n − 1, et chaque poignée est comptée deux fois : d'où la division par 2. Huit personnes : 28.
5.Pour un code à 3 chiffres tous différents, le premier chiffre a 10 possibilités, le deuxième 9 et le troisième 8.Voir le corrigé
Vrai
Sans répétition, chaque chiffre choisi retire une possibilité aux suivants : 10 × 9 × 8 = 720 codes.
6.5! est égal à 25.Voir le corrigé
Faux
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Le nombre 25 est 5², un carré, pas une factorielle.
Textes de référence
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe de contrôleur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Introduction à la combinatoire — Edwige Cyffers, cours de mars 2018 — Edwige Cyffers — document hébergé à l'ENS de Lyon (nouvel onglet)
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