Fiche de cours

Fractions : simplification, comparaison, opérations, valeur décimale

10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Pour additionner deux fractions, on additionne les numérateurs et les dénominateurs.

Additionner, multiplier, comparer et simplifier des fractions : c'est le socle des questions de mathématiques des QCM de catégorie C et B, et un préalable aux pourcentages et à la proportionnalité. Quatre règles suffisent, à condition de ne pas les mélanger : on additionne avec un dénominateur commun, on multiplie tout droit, on divise en multipliant par l'inverse, on compare en ramenant au même dénominateur.

À retenir

Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun positif autre que 1 : 42/56 = 3/4 après division par 14.
Addition et soustraction : réduire au même dénominateur, puis additionner les numérateurs ; 3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/12.
Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, simplifier avant de calculer ; 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2.
Division par une fraction non nulle : multiplier par son inverse ; 5/8 ÷ 5/4 = 5/8 × 4/5 = 1/2.
Comparaison : même dénominateur (5/7 = 50/70 et 7/10 = 49/70, donc 5/7 est plus grand) ou valeur décimale.
Fraction d'une quantité : multiplier ; 3/5 de 250 font 150.
Valeur décimale : diviser ; 7/8 = 0,875 ; inversement 0,6 = 6/10 = 3/5.

Simplifier et comparer

Simplifier une fraction, c'est diviser numérateur et dénominateur par un même nombre. Chercher d'abord les diviseurs évidents (2, 3, 5), puis recommencer : 42/56, divisé par 2, donne 21/28, divisé par 7, donne 3/4. Le plus grand diviseur commun (14) permet d'aller directement au résultat. Une fraction est irréductible quand plus aucune simplification n'est possible.

Pour comparer deux fractions, les écrire avec le même dénominateur positif : 5/7 et 7/10 deviennent 50/70 et 49/70, donc 5/7 est la plus grande. Avec des dénominateurs positifs, on peut aussi comparer les produits en croix (5 × 10 = 50 contre 7 × 7 = 49). Quand les numérateurs sont égaux et strictement positifs, la fraction au plus petit dénominateur positif est la plus grande (2/3 est plus grand que 2/5).

Classer 5/7, 7/10, 2/3 et 13/20 : en décimal, 0,714 ; 0,7 ; 0,667 ; 0,65. La plus grande est 5/7.

Les quatre opérations

Règles et exemples

Opération	Règle	Exemple
Addition	Même dénominateur, puis on additionne les numérateurs	3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/12
Soustraction	Même dénominateur, puis on soustrait	1 − 7/12 = 12/12 − 7/12 = 5/12
Multiplication	Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux	2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2
Division	Multiplier par l'inverse de la seconde fraction, non nulle	5/8 ÷ 5/4 = 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2

Confusions fréquentes

On n'additionne jamais les dénominateurs: 3/4 + 1/6 ne fait pas 4/10. C'est une erreur classique ; le dénominateur commun est indispensable pour additionner ou soustraire, et lui seul.
Simplifier avant de multiplier: 2/3 × 9/4 : le 9 et le 3 se simplifient (3), le 2 et le 4 aussi (2) ; il reste 1/1 × 3/2 = 3/2. Les nombres restent petits et le calcul mental devient possible.
Diviser un nombre strictement positif par une fraction strictement entre 0 et 1 l'agrandit: 5/8 ÷ 5/4 donne 1/2, plus petit, car 5/4 est supérieur à 1. À l'inverse, diviser par 1/2 revient à multiplier par 2.

Fractions de quantités et décimaux

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier : 3/5 de 250 = 250 × 3 ÷ 5 = 150. Retrouver le tout à partir d'une fraction : si 1/5 d'un réservoir représente 30 litres, le réservoir contient 150 litres. Dans les problèmes, la différence entre deux niveaux (des 2/5 aux 3/5) vaut souvent une fraction simple du tout.

Passer en décimal : diviser le numérateur par le dénominateur (7/8 = 0,875 ; 1/3 = 0,333…). Passer du décimal à la fraction : écrire sur une puissance de 10 puis simplifier (0,6 = 6/10 = 3/5 ; 0,25 = 25/100 = 1/4). Quelques équivalences à connaître par cœur : 1/2 = 0,5 ; 1/4 = 0,25 ; 3/4 = 0,75 ; 1/5 = 0,2 ; 1/8 = 0,125.

Au QCM, deux propositions peuvent avoir la même valeur (3/4 et 6/8) : si la question demande la forme irréductible, seule 3/4 est juste. Lire la consigne jusqu'au bout.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Pour additionner deux fractions, on additionne les numérateurs et les dénominateurs.Voir le corrigé
Faux
On réduit d'abord au même dénominateur, puis on additionne seulement les numérateurs : 3/4 + 1/6 = 11/12.
2.Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.Voir le corrigé
Vrai
5/8 ÷ 5/4 = 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2 : on retourne la seconde fraction et on multiplie.
3.42/56 est une fraction irréductible.Voir le corrigé
Faux
Numérateur et dénominateur sont divisibles par 14 : 42/56 = 3/4.
4.5/7 est supérieur à 7/10.Voir le corrigé
Vrai
50/70 contre 49/70 : 5/7 est plus grand, comme le confirme le produit en croix (50 > 49).
5.3/5 de 250 font 150.Voir le corrigé
Vrai
Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier : 250 × 3 ÷ 5 = 150.
6.0,6 s'écrit 6/100 en fraction.Voir le corrigé
Faux
0,6 = 6/10 = 3/5 ; 6/100 vaut 0,06.

Textes de référence

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