Racines carrées : produit, quotient, valeurs approchées
12 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
La racine carrée d'une somme est égale à la somme des racines carrées.
La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre. Tout tient dans cette phrase et dans deux règles de calcul — la racine d'un produit et celle d'un quotient — auxquelles s'ajoutent deux pièges classiques : la racine d'une somme, et le nombre de solutions d'une équation du type x au carré égale a.
À retenir
- Définition : pour a positif ou nul, la racine carrée de a est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Elle n'existe pas pour un nombre négatif.
- Pour des nombres positifs ou nuls, la racine d'un produit est le produit des racines ; la racine d'un quotient est le quotient des racines si le dénominateur est strictement positif.
- Une règle fausse, et c'est le piège principal : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. La racine de 9 plus 16 vaut 5, alors que la somme des racines vaut 7.
- Le carré de la racine de a redonne a ; en revanche la racine du carré de a vaut la valeur absolue de a — pour a négatif, le résultat est positif.
- Simplifier, c'est extraire le plus grand carré parfait : la racine de 50 s'écrit 5 fois la racine de 2, celle de 12 s'écrit 2 fois la racine de 3.
- L'équation x au carré égale a a deux solutions opposées si a est positif, une seule si a vaut zéro, aucune si a est négatif.
- Valeurs à connaître : racine de 2 environ 1,414 ; racine de 3 environ 1,732 ; racine de 5 environ 2,236. Et les carrés parfaits jusqu'à 15 au carré, soit 225.
Ce qui se calcule, et ce qui ne se calcule pas
| Écriture | Statut | Vérification numérique |
|---|---|---|
| racine de (a × b) = racine de a × racine de b | Vraie | racine de 36 = 6 ; racine de 4 × racine de 9 = 2 × 3 = 6 |
| racine de (a ÷ b) = racine de a ÷ racine de b | Vraie | racine de 25/4 = 5/2 ; racine de 25 ÷ racine de 4 = 5/2 |
| (racine de a) au carré = a | Vraie | (racine de 7) au carré = 7 |
| racine de (a + b) = racine de a + racine de b | Fausse | racine de 25 = 5, mais racine de 9 + racine de 16 = 7 |
La racine du carré demande une précaution : elle vaut la valeur absolue. Pour a = 3, la racine de 9 vaut 3 ; pour a = −3, la racine de 9 vaut encore 3, et non −3. Une racine carrée est toujours positive ou nulle, par définition. C'est ce qui explique que l'équation x au carré égale 49 ait deux solutions, 7 et −7, alors que la racine de 49 n'en désigne qu'une, 7.
Simplifier et rationaliser
| Racine | Décomposition | Forme simplifiée |
|---|---|---|
| racine de 50 | 50 = 25 × 2 | 5 fois racine de 2 |
| racine de 12 | 12 = 4 × 3 | 2 fois racine de 3 |
| racine de 27 | 27 = 9 × 3 | 3 fois racine de 3 |
| racine de 45 | 45 = 9 × 5 | 3 fois racine de 5 |
| racine de 200 | 200 = 100 × 2 | 10 fois racine de 2 |
Simplifier permet d'additionner : la racine de 12 plus la racine de 27 ne s'additionne pas telle quelle, mais devient 2 fois racine de 3 plus 3 fois racine de 3, soit 5 fois racine de 3. On n'additionne que des racines identiques, exactement comme on n'additionne que des termes de même nature en calcul littéral.
Rationaliser 1 divisé par racine de 3 : on multiplie numérateur et dénominateur par racine de 3, ce qui donne racine de 3 divisé par 3, soit environ 0,577. Le calcul est le même pour 1 divisé par racine de 2, qui vaut racine de 2 divisé par 2, environ 0,707.
Confusions fréquentes
- La racine d'une somme n'est pas la somme des racines
- C'est un piège classique. Un contre-exemple suffit à s'en souvenir : la racine de 9 plus 16 vaut 5, la somme des racines vaut 7.
- Une racine carrée n'est jamais négative
- La racine de 49 vaut 7, et seulement 7. Ce sont les solutions de l'équation x au carré égale 49 qui sont deux, 7 et −7.
- La racine du carré de a vaut la valeur absolue de a
- Pour a = −5, la racine de a au carré vaut 5. Écrire que le résultat vaut a est correct seulement si a est positif ou nul.
- Un nombre négatif n'a pas de racine carrée
- L'équation x au carré égale −4 n'a aucune solution parmi les nombres réels. Un QCM propose souvent 2 ou −2 comme distracteur.
Là où elles servent au concours
| Contexte | Ce qu'on cherche | Exemple |
|---|---|---|
| Géométrie | Un côté à partir d'une aire, une longueur par Pythagore | Carré d'aire 45 m² : côté = 3 fois racine de 5, environ 6,7 m |
| Équation | Les solutions de x au carré égale a | x au carré = 49 donne 7 et −7 |
| Ordre de grandeur | Encadrer une racine entre deux entiers | Racine de 30 est entre 5 et 6, puisque 25 < 30 < 36 |
Encadrer avant de calculer : la racine de 30 tombe entre 5 et 6 parce que 25 et 36 l'encadrent. Cet encadrement élimine souvent deux propositions sur quatre sans calculatrice.
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Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La racine carrée d'une somme est égale à la somme des racines carrées.Voir le corrigé
Faux
La racine de 9 plus 16 vaut 5, tandis que la racine de 9 plus la racine de 16 vaut 7 : la règle n'existe pas.
2.Pour deux nombres positifs ou nuls, la racine carrée de leur produit est égale au produit de leurs racines carrées.Voir le corrigé
Vrai
La racine de 36 vaut 6, et la racine de 4 multipliée par la racine de 9 vaut aussi 6.
3.L'équation x au carré égale 49 admet deux solutions.Voir le corrigé
Vrai
Elle admet 7 et −7 ; la notation « racine de 49 » ne désigne, elle, que la solution positive.
4.La racine carrée de 25 vaut 5 ou −5.Voir le corrigé
Faux
Une racine carrée est positive ou nulle par définition : la racine de 25 vaut 5.
5.La racine carrée de 50 s'écrit 5 fois la racine de 2.Voir le corrigé
Vrai
50 se décompose en 25 fois 2, et la racine de 25 vaut 5 : on extrait le plus grand carré parfait.
6.L'équation x au carré égale −4 admet deux solutions opposées.Voir le corrigé
Faux
Un carré est toujours positif ou nul : aucune solution réelle n'existe.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Cahier de vacances de mathématiques — BCPST1, 2024 — G. Guillaumé et P.-W. Martelli — lycées Henri Poincaré et Henri Loritz, Nancy (nouvel onglet)
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