Puissances d'exposant entier relatif et notation scientifique
9 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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2³ est égal à 6.
Une puissance est une multiplication répétée : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, et non 2 × 5. Les QCM de C et de B peuvent interroger ces notions : exposant zéro, exposant négatif, signe devant une puissance, produit de puissances. La notation scientifique, elle, sert à écrire les très grands et les très petits nombres, ceux des budgets de l'État comme ceux des unités informatiques.
À retenir
- aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ; l'exposant compte les facteurs, il ne se multiplie pas par la base.
- Pour a non nul et n entier strictement positif, a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ : 10⁻³ = 0,001 est un nombre positif, plus petit que 1.
- Produit de puissances de même base : on additionne les exposants (3² × 3³ = 3⁵) ; quotient : on les soustrait (10⁴ ÷ 10⁶ = 10⁻²).
- Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, (2³)² = 2⁶ = 64.
- Le signe se lit avec soin : (−2)⁴ = 16 mais −2⁴ = −16 ; une puissance paire d'un nombre négatif est positive, une puissance impaire reste négative.
- Notation scientifique d’un nombre strictement positif : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 ; 45 000 = 4,5 × 10⁴ et 0,0072 = 7,2 × 10⁻³.
- Préfixes des unités : kilo 10³, méga 10⁶, giga 10⁹, téra 10¹² ; milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹.
Définitions et puissances de 10
Pour un entier n strictement positif, aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a. Par convention a¹ = a et a⁰ = 1 (a non nul). Pour a non nul, a⁻ⁿ est l'inverse de aⁿ : 2⁻³ = 1 ÷ 8 = 0,125 ; (−2)⁻³ = −0,125. Les puissances de 10 se lisent directement : pour n strictement positif, 10ⁿ s'écrit 1 suivi de n zéros (10⁶ = 1 000 000), et 10⁻ⁿ s'écrit 0, suivi de n − 1 zéros puis 1 (10⁻⁴ = 0,0001).
| Puissance | Écriture décimale | Préfixe | Exemple |
|---|---|---|---|
| 10¹² | 1 000 000 000 000 | téra (T) | 1 To = 10¹² octets |
| 10⁹ | 1 000 000 000 | giga (G) | 1 Go = 10⁹ octets ; un milliard d'euros |
| 10⁶ | 1 000 000 | méga (M) | 1 Mo = 10⁶ octets ; un million |
| 10³ | 1 000 | kilo (k) | 1 km = 10³ m |
| 10⁻³ | 0,001 | milli (m) | 1 mm = 10⁻³ m |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | micro (µ) | 1 µm = 10⁻⁶ m |
| 10⁻⁹ | 0,000 000 001 | nano (n) | 1 ns = 10⁻⁹ s |
Le budget de l'État se compte en centaines de milliards d'euros : 450 milliards s'écrit 4,5 × 10¹¹ €.
Les règles de calcul
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3² × 3³ = 3⁵ = 243 |
| Quotient, même base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 10⁴ ÷ 10⁶ = 10⁻² = 0,01 |
| Puissance d'une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Puissance d'un produit | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1 000 |
Ces règles ne s'appliquent qu'à des puissances de même base pour le produit et le quotient : 2³ × 5² ne se simplifie pas en une seule puissance, on calcule 8 × 25 = 200. Et elles ne concernent jamais l'addition : 2³ + 2³ vaut 16, c'est-à-dire 2 × 2³ = 2⁴, pas 2⁶.
Confusions fréquentes
- 2⁵ n'est pas 2 × 5
- 2⁵ = 32 ; le résultat 10, qui multiplie la base par l'exposant, est le piège classique.
- Le signe moins devant l'exposant
- 10⁻³ = 0,001 est positif. L'exposant négatif indique l'inverse ; le signe dépend de la base et de l'exposant.
- Additionner les exposants, pas les bases
- 3² × 3³ = 3⁵, pas 9⁵ ni 6⁵. Le produit garde la base et additionne les exposants.
- (−2)⁴ et −2⁴
- Avec parenthèses, la puissance porte sur −2 : (−2)⁴ = 16. Sans parenthèses, elle porte sur 2 seul : −2⁴ = −16.
La notation scientifique
Un nombre strictement positif est en notation scientifique quand il s'écrit a × 10ⁿ avec a compris entre 1 inclus et 10 exclu, et n entier relatif. Pour l'obtenir, on déplace la virgule jusqu'à n'avoir qu'un chiffre non nul avant elle, et l'on compte les déplacements : vers la gauche l'exposant est positif (45 000 = 4,5 × 10⁴, quatre rangs), vers la droite il est négatif (0,0072 = 7,2 × 10⁻³, trois rangs). Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les mantisses et l'on additionne les exposants : (2 × 10³) × (3 × 10⁴) = 6 × 10⁷.
La vitesse de la lumière dans le vide vaut environ 300 000 000 m/s, soit 3 × 10⁸ m/s ; une épaisseur de feuille de 0,0001 m s'écrit 1 × 10⁻⁴ m.
Quand une réponse de QCM propose 45 × 10³ et 4,5 × 10⁴, les deux valent 45 000 ; seule la seconde est une notation scientifique, puisque 45 n'est pas compris entre 1 et 10.
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1.2³ est égal à 6.Voir le corrigé
Faux
2³ = 2 × 2 × 2 = 8. L'exposant compte les facteurs, il ne se multiplie pas par la base.
2.Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1.Voir le corrigé
Vrai
C'est la convention a⁰ = 1, cohérente avec la règle du quotient : aⁿ ÷ aⁿ = a⁰ = 1.
3.10⁻² est un nombre négatif.Voir le corrigé
Faux
10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01 : un nombre positif plus petit que 1. L'exposant négatif signifie « inverse ».
4.En notation scientifique d’un nombre strictement positif, le nombre placé devant la puissance de 10 est compris entre 1 inclus et 10 exclu.Voir le corrigé
Vrai
Pour un nombre strictement positif : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. 45 × 10³ n'est donc pas une notation scientifique.
5.3² × 3⁴ est égal à 9⁶.Voir le corrigé
Faux
On garde la base et on additionne les exposants : 3² × 3⁴ = 3⁶ = 729. 9⁶ vaut 531 441.
6.Un mégaoctet vaut 10⁶ octets.Voir le corrigé
Vrai
Méga désigne 10⁶, soit un million ; giga désigne 10⁹ et kilo 10³.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Cahier de vacances de mathématiques — BCPST1, 2024 — G. Guillaumé et P.-W. Martelli — lycées Henri Poincaré et Henri Loritz, Nancy (nouvel onglet)
- Les préfixes du Système international d’unités — Bureau international des poids et mesures (nouvel onglet)
- Unité de base du SI : le mètre — Bureau international des poids et mesures (nouvel onglet)
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