Multiples, diviseurs, nombres premiers, PGCD et PPCM
10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
1 est un nombre premier.
Répartir 84 crayons et 60 gommes en lots identiques, savoir quand deux bus repartiront ensemble, simplifier une fraction d'un seul coup : trois problèmes de QCM qui se résolvent avec deux outils, le plus grand diviseur commun (PGCD) et le plus petit multiple commun (PPCM). Derrière eux, la décomposition en facteurs premiers, qui exige de reconnaître un nombre premier au premier coup d'œil.
À retenir
- Pour des entiers strictement positifs a et b, b est un diviseur de a (et a un multiple de b) quand la division de a par b tombe juste : 6 divise 24, 24 est un multiple de 6.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Le nombre 1 n'est pas premier, et 2 est le seul premier pair.
- Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique, à l'ordre des facteurs près, en produit de facteurs premiers : 180 = 2² × 3² × 5.
- Le PGCD est le plus grand entier qui divise les deux nombres ; il sert à partager en lots identiques et à rendre une fraction irréductible.
- Le PPCM de deux entiers strictement positifs est leur plus petit multiple commun strictement positif ; il sert aux rendez-vous périodiques et aux dénominateurs communs.
- Avec les décompositions : PGCD = produit des facteurs communs aux plus petits exposants ; PPCM = produit de tous les facteurs aux plus grands exposants.
- Pour deux nombres a et b : PGCD × PPCM = a × b. Utile pour vérifier ou pour déduire l'un de l'autre.
Reconnaître un nombre premier
Pour tester un entier naturel inférieur à 100 : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2, 3, 5 et 7 le sont. Pour les entiers de 8 à 99, il suffit de vérifier qu'ils ne sont divisibles ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 : un entier composé possède un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Un entier pair autre que 2, un multiple de 3 autre que 3, ou un nombre terminé par 0 ou 5 autre que 5 n'est pas premier. Restent notamment 49, 77, 91, multiples de 7, ainsi que 51 = 3 × 17 et 57 = 3 × 19.
| Nombre | Étapes | Décomposition |
|---|---|---|
| 36 | 36 = 2 × 18 = 2 × 2 × 9 | 2² × 3² |
| 48 | 48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 6 | 2⁴ × 3 |
| 180 | 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 3 × 15 | 2² × 3² × 5 |
| 91 | 91 = 7 × 13 | 7 × 13 (donc 91 n'est pas premier) |
Confusions fréquentes
- 1 n'est pas premier
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts ; 1 n'en a qu'un. Le plus petit nombre premier est 2.
- 91 et 51 ont l'air premiers
- 91 = 7 × 13 et 51 = 3 × 17. Tester la divisibilité par 3 et par 7 avant de conclure.
- Multiple de 15 : il faut 3 et 5
- Un nombre multiple de 3 ou de 5 n'est pas forcément multiple de 15 : 25 est multiple de 5 mais pas de 15. Il faut les deux à la fois.
Calculer un PGCD et un PPCM
Méthode par les décompositions : 36 = 2² × 3² et 48 = 2⁴ × 3. Le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant : 2² × 3 = 12. Le PPCM prend tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2⁴ × 3² = 144. Vérification : 12 × 144 = 1 728 = 36 × 48. Méthode par l'algorithme d'Euclide, plus rapide pour les grands nombres : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste non nul, jusqu'à un reste nul ; le PGCD est le diviseur de cette dernière division. Pour 84 et 60 : 84 = 60 × 1 + 24 ; 60 = 24 × 2 + 12 ; 24 = 12 × 2 + 0 ; PGCD = 12. Si la première division tombe juste, son diviseur est déjà le PGCD : PGCD(24, 12) = 12.
PPCM de 12 et 18 : les multiples de 18 sont 18, 36, 54… et 36 est le premier multiple de 12 rencontré. PPCM = 36.
Le PGCD ne dépasse jamais le plus petit des deux nombres, le PPCM n'est jamais inférieur au plus grand : ces deux bornes permettent souvent d'écarter d'emblée des propositions d'un QCM.
Reconnaître le bon outil dans un problème
| Situation | Outil | Exemple |
|---|---|---|
| Partager deux quantités en lots identiques, le plus grand nombre de lots possible | PGCD | 84 crayons et 60 gommes : PGCD = 12 lots de 7 crayons et 5 gommes |
| Deux événements périodiques : quand coïncident-ils à nouveau ? | PPCM | Bus toutes les 12 min et toutes les 18 min : ensemble toutes les 36 min |
| Rendre une fraction irréductible | PGCD | 42/56 : PGCD = 14, donc 3/4 |
| Mettre deux fractions au même dénominateur | PPCM | 1/4 + 1/6 : PPCM = 12, soit 3/12 + 2/12 = 5/12 |
| Carreler une surface avec le plus grand carreau possible | PGCD | Pièce de 360 cm × 225 cm : carreaux de 45 cm |
Le mot « le plus grand » associé à un partage oriente vers le PGCD ; « le plus petit » associé à une répétition ou à un « à nouveau ensemble » oriente vers le PPCM. Une fois l'outil choisi, décomposer les deux nombres ou appliquer Euclide, puis relire la question : elle demande parfois le nombre de lots (le PGCD) et parfois la composition d'un lot (les quotients).
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.1 est un nombre premier.Voir le corrigé
Faux
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même ; 1 n'en a qu'un seul.
2.Tous les nombres premiers autres que 2 sont impairs.Voir le corrigé
Vrai
Tout autre nombre pair est divisible par 2 et possède donc au moins trois diviseurs : 2 est le seul nombre premier pair.
3.Le PGCD de deux entiers strictement positifs est toujours inférieur ou égal au plus petit des deux.Voir le corrigé
Vrai
Un diviseur commun divise chacun des deux nombres, il ne peut donc pas dépasser le plus petit.
4.Le PPCM de 6 et 8 est 48.Voir le corrigé
Faux
48 est un multiple commun, mais 24 l'est aussi et il est plus petit : PPCM(6, 8) = 24.
5.Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique, à l'ordre des facteurs près, en produit de facteurs premiers.Voir le corrigé
Vrai
C'est le théorème fondamental de l'arithmétique : 180 = 2² × 3² × 5. L'ordre des facteurs peut changer ; les facteurs premiers et leurs exposants sont uniques.
6.Un nombre est multiple de 15 dès qu'il est multiple de 3 ou de 5.Voir le corrigé
Faux
Il faut être multiple de 3 et de 5 à la fois : 25 est multiple de 5 sans être multiple de 15.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Exo7 — Arithmétique, source du cours — Exo7 — Arnaud Bodin et contributeurs universitaires (nouvel onglet)
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