Moyennes et intérêts simples
10 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Une classe de 20 élèves de moyenne 10 et une classe de 30 élèves de moyenne 15 ont ensemble 12,5 de moyenne.
La moyenne est le calcul le plus familier du QCM, et l'un des plus piégés : la moyenne simple de deux moyennes de groupes ne donne pas en général la moyenne de l'ensemble, la vitesse moyenne d'un aller-retour n'est pas la moyenne des vitesses, et une note manquante se retrouve par le total, pas par tâtonnement. Les intérêts simples, eux, sont une proportionnalité au temps : une formule, trois inconnues possibles, et la durée à convertir en années.
À retenir
- Moyenne simple : somme des valeurs divisée par leur nombre. Moyenne de 12, 15, 9 et 16 : 52 ÷ 4 = 13.
- Moyenne pondérée : somme des (valeur × coefficient) divisée par la somme des coefficients. Notes 10 (coef. 2), 14 (coef. 3), 8 (coef. 1) : 70 ÷ 6 ≈ 11,67.
- Valeur manquante : raisonner sur le total. Moyenne 12 sur 4 devoirs (total 48) ; pour 13 sur 5 devoirs (total 65), il faut 17.
- Moyenne de plusieurs groupes : pondérer par les effectifs. 20 élèves à 10 et 30 élèves à 15 : (200 + 450) ÷ 50 = 13, pas 12,5.
- Vitesse moyenne : distance totale divisée par temps total. Aller à 60 km/h et retour à 40 km/h : 48 km/h, pas 50.
- Intérêts simples : I = C × t × n, capital C, taux annuel t, durée n en années ; montant acquis = C + I. Les intérêts se calculent chaque année sur le capital de départ.
- Durée en mois : n = nombre de mois ÷ 12. Six mois comptent pour 0,5 année, pas pour 6.
Moyenne simple et moyenne pondérée
La moyenne simple répartit également le total entre les valeurs : c'est la valeur qu'auraient toutes les données si elles étaient égales à total constant. Quand les valeurs n'ont pas le même poids (coefficients d'examen, effectifs de classes, quantités achetées à des prix différents), on calcule une moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son poids, on additionne, puis on divise par la somme des poids. Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs : un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul.
| Note | Coefficient | Note × coefficient |
|---|---|---|
| 10 | 2 | 20 |
| 14 | 3 | 42 |
| 8 | 1 | 8 |
| Total | 6 | 70 → moyenne 70 ÷ 6 ≈ 11,67 |
Un candidat a 12 de moyenne après quatre devoirs. Pour atteindre 13 après le cinquième, il lui faut un total de 5 × 13 = 65 ; il a déjà 4 × 12 = 48 ; le cinquième devoir doit valoir 17.
Les deux pièges de la moyenne
Confusions fréquentes
- La moyenne des moyennes
- Deux classes de moyennes 10 et 15 n'ont une moyenne globale de 12,5 que si elles ont le même effectif. Avec 20 et 30 élèves : (20 × 10 + 30 × 15) ÷ 50 = 13.
- La vitesse moyenne d'un aller-retour
- Sur 120 km à 60 km/h (2 h) puis 120 km à 40 km/h (3 h) : 240 km en 5 h, soit 48 km/h. La moyenne des vitesses, 50 km/h, est fausse parce que le trajet lent dure plus longtemps.
- Ajouter une valeur change le diviseur
- Cinq nombres de moyenne 20 (total 100) auxquels on ajoute 32 : nouvelle moyenne 132 ÷ 6 = 22, et non (20 + 32) ÷ 2 = 26.
Devant deux groupes d'effectifs différents, écrire les deux totaux avant toute chose. La moyenne globale est forcément plus proche de la moyenne du groupe le plus nombreux : cela élimine des propositions sans calcul.
Les intérêts simples
Un capital C placé au taux annuel t pendant n années à intérêts simples rapporte I = C × t × n, avec t écrit en décimal (3 % = 0,03). Le montant acquis est C + I. La formule se retourne dans tous les sens : taux = I ÷ (C × n), durée = I ÷ (C × t), capital = I ÷ (t × n). Pour une durée en mois, n vaut le nombre de mois divisé par 12 ; pour une durée en jours, on divise par 360 (année commerciale) ou 365 selon l'énoncé. À la différence des intérêts composés, les intérêts d'une année ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts l'année suivante : les intérêts simples sont proportionnels à la durée.
| Question | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| 2 000 € à 3 % pendant 4 ans : intérêts ? | 2 000 × 0,03 × 4 | 240 € |
| 1 500 € à 2 % pendant 6 mois : intérêts ? | 1 500 × 0,02 × 6/12 | 15 € |
| 5 000 € rapportent 300 € en 2 ans : taux ? | 300 ÷ (5 000 × 2) | 0,03, soit 3 % |
800 € placés à 5 % pendant 3 ans : intérêts 800 × 0,05 × 3 = 120 €, montant acquis 920 €.
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1.Une classe de 20 élèves de moyenne 10 et une classe de 30 élèves de moyenne 15 ont ensemble 12,5 de moyenne.Voir le corrigé
Faux
Il faut pondérer par les effectifs : (20 × 10 + 30 × 15) ÷ 50 = 13. La moyenne simple des deux moyennes, 12,5, ne vaudrait que pour deux classes de même effectif.
2.Une moyenne pondérée se calcule en divisant la somme des produits valeur × coefficient par la somme des coefficients.Voir le corrigé
Vrai
Chaque valeur est multipliée par son coefficient ; on divise ensuite la somme de ces produits par la somme des coefficients, et non par le nombre de valeurs.
3.Avec les intérêts simples, les intérêts de chaque année se calculent toujours sur le capital initial.Voir le corrigé
Vrai
C'est ce qui les distingue des intérêts composés, où les intérêts acquis produisent à leur tour des intérêts.
4.Un placement de 1 000 € à 4 % rapporte 40 € par an à intérêts simples.Voir le corrigé
Vrai
I = 1 000 × 0,04 × 1 = 40 €. Sur trois ans, les intérêts seraient de 120 €.
5.Pour une durée de 6 mois, on multiplie les intérêts annuels par 6.Voir le corrigé
Faux
Six mois représentent 6/12 = 0,5 année : on multiplie les intérêts annuels par 0,5.
6.La vitesse moyenne d'un aller-retour est la moyenne des deux vitesses.Voir le corrigé
Faux
La vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total : à 60 puis 40 km/h sur le même trajet, elle vaut 48 km/h.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Statistiques — organiser des données, section La moyenne — Lionel Blin — ressource pédagogique sur la Forge de l’Éducation nationale (nouvel onglet)
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