Suites arithmétiques et géométriques : terme général, somme, représentation
14 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante.
Une suite arithmétique ajoute une même quantité à chaque pas ; une suite géométrique multiplie par un même nombre. Un loyer qui augmente de 20 € par an illustre la première, un capital à intérêts composés de 3 % par an la seconde. L'évolution peut être croissante, décroissante ou constante selon la raison et le premier terme.
À retenir
- Suite arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant une raison constante. Terme général : le premier terme plus le nombre de pas multiplié par la raison.
- Suite géométrique : on passe d'un terme au suivant en multipliant par une raison constante. Terme général : le premier terme multiplié par la raison élevée au nombre de pas.
- Pour reconnaître : des différences successives constantes caractérisent une suite arithmétique. Si les termes sont non nuls, des quotients successifs constants caractérisent une suite géométrique. Une suite constante non nulle appartient aux deux familles.
- Somme des termes d'une suite arithmétique : le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier.
- Somme des termes d'une suite géométrique de raison différente de 1 : le premier terme multiplié par (1 moins la raison puissance le nombre de termes) divisé par (1 moins la raison).
- Représentation : les points d'une suite arithmétique sont alignés. Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, ils montent de plus en plus vite si q > 1, descendent vers zéro si 0 < q < 1 et restent à la même hauteur si q = 1.
- Une hausse de p pour cent correspond à une suite géométrique de raison 1 plus p sur 100 ; une baisse, à une raison 1 moins p sur 100.
Reconnaître la famille
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Passage au terme suivant | On ajoute la raison r | On multiplie par la raison q |
| Terme général depuis le rang 0 | u₀ + n × r | u₀ multiplié par q puissance n |
| Reconnaissance | Les différences sont constantes | Les quotients sont constants quand les termes sont non nuls |
| Représentation | Points alignés | Pour des termes positifs, courbe qui s'écarte si q > 1, qui s'écrase vers zéro si 0 < q < 1 |
| Situation type | Un loyer qui augmente de 20 € par an | Un capital placé à 3 % par an |
Suite 5, 8, 11, 14, 17… Les différences valent toutes 3 : la suite est arithmétique de raison 3 et de premier terme 5. Son terme de rang 10 vaut 5 + 10 × 3 = 35. Suite 3, 6, 12, 24, 48… Les quotients valent tous 2 : la suite est géométrique de raison 2 et de premier terme 3. Son terme de rang 5 vaut 3 × 2 puissance 5 = 96.
Additionner les termes
Pour une suite arithmétique, la somme se calcule par une astuce ancienne : additionner le premier et le dernier terme, puis multiplier par le nombre de termes et diviser par deux. Les termes vont par paires de même total, ce qui explique la formule. Ainsi la somme des entiers de 1 à 100 vaut 100 × 101 ÷ 2, soit 5 050.
Somme des onze premiers termes de la suite arithmétique 5, 8, 11… : le dernier terme, de rang 10, vaut 35. La somme vaut 11 × (5 + 35) ÷ 2 = 11 × 20 = 220. Pour la suite géométrique 1, 2, 4, 8… sur dix termes : la somme vaut 1 × (1 − 2 puissance 10) ÷ (1 − 2) = (1 − 1 024) ÷ (−1) = 1 023.
Confusions fréquentes
- Compter les termes, non les rangs
- De u₀ à u₁₀, il y a onze termes et dix pas. La formule du terme général utilise les pas, celle de la somme utilise les termes : c'est une erreur classique du chapitre.
- La formule de somme géométrique exige une raison différente de 1
- Pour une raison égale à 1, la suite est constante et la somme vaut simplement le nombre de termes multiplié par ce terme. Le dénominateur serait nul.
- Deux hausses de pourcentage ne s'additionnent pas
- Une suite géométrique de raison 1,03 sur deux ans donne un coefficient de 1,0609, soit 6,09 % et non 6 %. C'est l'effet des intérêts composés.
- Une raison comprise entre 0 et 1 fait décroître une suite à termes positifs
- Une raison de 0,9 correspond à une baisse de 10 % par période : les termes, s'ils sont positifs, décroissent et tendent vers zéro sans jamais l'atteindre. Avec un premier terme négatif, la même raison fait croître la suite vers zéro.
Les applications de concours
| Situation | Type | Raison |
|---|---|---|
| Un loyer augmente de 20 € par an | Arithmétique | r = 20 |
| Un capital est placé à 3 % par an | Géométrique | q = 1,03 |
| Un matériel perd 15 % de sa valeur par an | Géométrique | q = 0,85 |
| Une dette est remboursée de 500 € par mois | Arithmétique | r = −500 |
| Une population croît de 2 % par an | Géométrique | q = 1,02 |
Un capital de 1 000 € placé à 3 % par an suit une suite géométrique de raison 1,03. Au bout de dix ans, il vaut 1 000 × 1,03 puissance 10, soit environ 1 343,92 €. Les intérêts atteignent donc près de 344 €, là où dix fois 30 € n'en donneraient que 300 : la différence est l'effet des intérêts composés.
Pour estimer un doublement à intérêts composés, la règle des 72 dépanne : on divise 72 par le taux en pourcentage. À 3 %, le capital double en environ 24 ans — le calcul exact donne 23,4 ans.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante.Voir le corrigé
Vrai
Cette constante est la raison ; les différences successives sont donc toutes égales.
2.Les points représentant la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 sont alignés.Voir le corrigé
Faux
Les points (0 ; 1), (1 ; 2) et (2 ; 4) ne sont pas alignés : les accroissements valent 1 puis 2. La suite nulle, elle, est constante et ses points sont alignés, même avec la relation uₙ₊₁ = 2uₙ.
3.Une hausse annuelle de 3 % correspond à une suite géométrique de raison 1,03.Voir le corrigé
Vrai
Une hausse de p pour cent revient à multiplier par 1 plus p sur 100 à chaque période.
4.Deux hausses successives de 3 % équivalent à une hausse de 6 %.Voir le corrigé
Faux
Le coefficient vaut 1,03 au carré, soit 1,0609 : la hausse cumulée est de 6,09 %, en raison des intérêts composés.
5.La somme des termes d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier.Voir le corrigé
Vrai
Les termes se regroupent par paires de même total, ce qui justifie la formule.
6.De u₀ à u₁₀, une suite compte dix termes.Voir le corrigé
Faux
Elle en compte onze, pour dix pas : la formule du terme général utilise les pas, celle de la somme utilise les termes.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Geometric and arithmetic sequences — University of North Carolina at Greensboro (nouvel onglet)
- College Algebra 2e — Series and Their Notations — OpenStax — Rice University (nouvel onglet)
- College Algebra 2e — Exponential Functions — OpenStax — Rice University (nouvel onglet)
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