Fiche de cours

Nuage de points, ajustement affine et corrélation

13 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

La droite d'ajustement obtenue par les moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage.

Quand deux grandeurs varient ensemble, on cherche la droite qui résume le mieux leur relation, puis on mesure à quel point ce résumé est fidèle. C'est tout l'objet de l'ajustement affine et du coefficient de corrélation. La technique est simple ; l'usage l'est moins, parce qu'une corrélation forte ne dit rien de la cause, et qu'une droite ajustée sur cinq années ne prédit pas la sixième sans hypothèse supplémentaire.

À retenir

Un nuage de points représente des couples de valeurs ; l'ajustement affine cherche la droite qui passe au plus près de l'ensemble des points.
La méthode des moindres carrés retient la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
La droite d'ajustement passe toujours par le point moyen, dont les coordonnées sont la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Pour deux séries non constantes, le coefficient de corrélation linéaire est compris entre −1 et 1 : proche de 1 ou de −1, l'alignement est fort ; proche de 0, la liaison linéaire mesurée est peu marquée.
Corrélation n'est pas causalité : deux séries peuvent varier ensemble par l'effet d'une troisième variable, ou par coïncidence.
Un coefficient nul n'implique pas l'indépendance : les cinq points x = −2, −1, 0, 1, 2 et y = 4 − x² donnent r = 0, malgré leur relation déterministe. Un coefficient proche de 0 ne prouve pas l'absence de liaison linéaire.
Interpoler à l'intérieur du domaine observé est raisonnable ; extrapoler au-delà suppose que la tendance se prolonge, ce que les données ne démontrent pas.

Construire et lire un ajustement

Nombre de dossiers traités par an, en milliers : 12, 15, 17, 20 et 21, pour x = 1 à 5. Les moyennes valent 3 et 17. Les sommes des produits centrés et des carrés des écarts de x valent 23 et 10 : la pente est 23 ÷ 10 = 2,3 et l'ordonnée à l'origine 17 − 2,3 × 3 = 10,1. La droite y = 2,3x + 10,1 passe par (3 ; 17). Pour x = 6, elle estime 23,9 milliers de dossiers, sous l'hypothèse de prolongement de la tendance.

Ce point de passage obligé permet de vérifier en une seule substitution qu'une équation d'ajustement passe bien par le point moyen.

Ce que chaque élément apporte

Élément	Rôle
Nuage de points	Montre la forme de la relation : linéaire, courbe, ou inexistante
Point moyen	Point de passage obligé de la droite d'ajustement
Coefficient directeur	Variation moyenne de y quand x augmente d'une unité
Coefficient de corrélation	Qualité de l'alignement, entre −1 et 1

La méthode des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux. Le choix du carré n'est pas anodin : il empêche les écarts positifs et négatifs de se compenser, et il pénalise davantage les points très éloignés. Une valeur aberrante peut donc peser lourdement sur la droite obtenue ; la repérer sur le nuage avant d'ajuster aide à interpréter le résultat.

Pour ajuster y par ax + b, avec une ordonnée à l'origine libre et des abscisses non toutes égales : a = somme des (x − moyenne(x)) × (y − moyenne(y)), divisée par la somme des (x − moyenne(x))² ; b = moyenne(y) − a × moyenne(x). Si les deux séries sont non constantes, r est cette même somme de produits centrés divisée par la racine du produit des deux sommes de carrés centrés. Une série constante rend ce coefficient indéfini.

Lire un coefficient de corrélation

Ordres de grandeur usuels

Coefficient	Lecture
Proche de 1	Points presque alignés, relation croissante
Proche de −1	Points presque alignés, relation décroissante
Proche de 0	Liaison linéaire peu marquée ; une autre forme de relation reste possible
Exactement 1 ou −1	Les points sont exactement alignés

Confusions fréquentes

Corrélation n'est pas causalité: Deux séries peuvent varier ensemble parce qu'une troisième les commande — la population d'un territoire explique à la fois le nombre de dossiers et le nombre d'agents. Conclure à un lien de cause à effet demande autre chose qu'un coefficient.
Un coefficient nul n'exclut pas toute relation: Pour x = −2, −1, 0, 1, 2 et y = 4 − x², les contributions symétriques à la covariance se compensent : r = 0 malgré la relation déterministe. La seule forme en cloche ne suffit pas si les observations ne sont pas réparties symétriquement.
Extrapoler n'est pas interpoler: Estimer une valeur intermédiaire au domaine observé est raisonnable. Prolonger la droite de plusieurs années suppose que rien ne change, hypothèse que les données ne démontrent jamais.
Une valeur aberrante peut déformer l'ajustement: Les écarts sont élevés au carré : certaines observations pèsent fortement sur la droite. L'influence dépend aussi de leur abscisse ; un point à l'abscisse moyenne peut déplacer l'ordonnée à l'origine sans modifier la pente. Examiner le nuage aide à interpréter le calcul.

S'en servir dans un dossier

Dans une note ou un cas pratique, l'ajustement sert à énoncer une tendance chiffrée : « le nombre de dossiers progresse en moyenne de 2 300 par an sur la période observée ». Cette phrase est plus utile qu'un coefficient de corrélation, que peu de lecteurs interprètent. Le coefficient reste en réserve pour justifier la fiabilité du résumé si la question est posée.

Contrôler une équation d'ajustement en y remplaçant l'abscisse du point moyen : on doit retrouver la moyenne des ordonnées. Ce test contrôle l'ordonnée à l'origine, pas la pente : si l'ordonnée à l'origine a été déduite du point moyen, une pente fausse passe le test. La pente se contrôle en refaisant son calcul, ou en vérifiant sur le nuage qu'elle suit la tendance.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.La droite d'ajustement obtenue par les moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage.Voir le corrigé
Vrai
C'est une propriété de la méthode, et le contrôle le plus rapide d'une équation d'ajustement.
2.Un coefficient de corrélation peut valoir 1,5 si la relation est très forte.Voir le corrigé
Faux
Il est toujours compris entre −1 et 1 ; les valeurs extrêmes correspondent à un alignement parfait.
3.Un coefficient de corrélation proche de zéro prouve que les deux séries sont indépendantes.Voir le corrigé
Faux
Un coefficient proche de zéro mesure une liaison linéaire peu marquée, sans prouver l'indépendance. Pour x = −2, −1, 0, 1, 2 et y = 4 − x², le coefficient vaut même zéro avec une relation déterministe.
4.Une forte corrélation entre deux séries démontre que l'une cause l'autre.Voir le corrigé
Faux
Une troisième variable peut commander les deux, ou la coïncidence peut suffire : la causalité ne se déduit pas d'un coefficient.
5.La méthode des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux.Voir le corrigé
Vrai
Le carré empêche les écarts de signes contraires de se compenser et pénalise fortement les points éloignés.
6.Prolonger une droite d'ajustement au-delà des données observées est une opération sans hypothèse.Voir le corrigé
Faux
L'extrapolation suppose que la tendance se poursuit, ce que les données observées ne démontrent pas.

Textes de référence

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