Fiche de cours

Moyenne pondérée, médiane, quartiles, étendue, variance, écart type

14 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Pour une série ordonnée, au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Pour résumer une série, une valeur centrale gagne à être accompagnée d'une mesure de dispersion. Des délais très différents peuvent avoir la même moyenne. Moyenne et médiane répondent à des questions distinctes ; le QCM de contrôleur de 2026 a demandé une température médiane lue sur un diagramme.

À retenir

Moyenne pondérée : la somme des valeurs multipliées par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. Une moyenne de moyennes n'est juste, en général, que si les groupes ont le même effectif (ou la même moyenne).
Médiane : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié supérieures ou égales. Pour un effectif impair, on retient la valeur centrale ; pour un effectif pair, la moyenne des deux valeurs centrales.
Convention retenue pour les quartiles : Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; Q₃ utilise le seuil de 75 %. L'écart interquartile vaut Q₃ − Q₁.
Étendue : la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Simple, mais entièrement déterminée par les deux extrêmes.
Variance : la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Écart type : la racine carrée de la variance, exprimée dans l'unité des données.
Une distribution de revenus est presque toujours asymétrique : la moyenne y dépasse la médiane, parce que les valeurs hautes tirent la moyenne vers le haut.
Choisir l'indicateur en fonction de la question : la moyenne pour un total à répartir, la médiane pour décrire une situation typique.

Moyenne ou médiane : ce que chacune raconte

Cinq salaires mensuels : 1 500, 1 600, 1 700, 1 800 et 5 000 €. La moyenne vaut 11 600 ÷ 5 = 2 320 €. La médiane, valeur centrale de la série ordonnée, vaut 1 700 €. Quatre personnes sur cinq gagnent moins que la moyenne : c'est la médiane qui décrit ici la situation typique.

Une seule valeur haute porte la moyenne 620 € au-dessus de la médiane ; si elle augmentait encore, la médiane ne bougerait pas d'un centime.

Quel indicateur pour quelle question

Question posée	Indicateur	Pourquoi
Quelle masse salariale prévoir ?	Moyenne	Elle multiplie directement par l'effectif
Que gagne un agent ordinaire ?	Médiane	Elle est moins sensible aux montants extrêmes que la moyenne
Les délais sont-ils homogènes ?	Écart type ou écart interquartile	Ils mesurent la dispersion
Quel est l'écart entre le meilleur et le pire ?	Étendue	Elle ne retient que les deux extrêmes

La pondération par les effectifs est la méthode générale pour calculer la moyenne de plusieurs groupes, y compris quand leurs effectifs diffèrent. Deux services traitent des dossiers en 10 jours pour l'un (200 dossiers) et 15 jours pour l'autre (800 dossiers) : le délai moyen n'est pas 12,5 jours mais (200 × 10 + 800 × 15) ÷ 1 000 = 14 jours. Faire la moyenne des moyennes revient à donner le même poids à un service quatre fois plus petit.

Linéarité de la moyenne : si chaque valeur x devient ax + b, sans changer les effectifs, la moyenne devient a × moyenne(x) + b. Ajouter 100 € à chacun des cinq salaires porte ainsi leur moyenne de 2 320 € à 2 420 €. Multiplier tous les salaires par 1,02 porte la moyenne à 2 366,40 €.

Mesurer la dispersion

Série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. La moyenne vaut 40 ÷ 8 = 5. Les écarts à la moyenne sont −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 ; leurs carrés valent 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, dont la somme fait 32. La variance vaut 32 ÷ 8 = 4, et l'écart type vaut donc 2.

L'écart type se compare aux données : ici, un écart type de 2 sur une moyenne de 5 signale une dispersion importante.

Repères de position et de dispersion sur la même série

Mesure	Valeur	Ce qu'elle capte
Étendue	9 − 2 = 7	Les deux extrêmes seulement
Premier quartile	4	Au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales (ici quatre sur huit)
Troisième quartile	5	Au moins trois quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales (ici six sur huit)
Écart interquartile	5 − 4 = 1	La dispersion de la moitié centrale
Écart type	2	La dispersion autour de la moyenne, dans l'unité des données

Confusions fréquentes

La moyenne des moyennes est en général fausse quand les effectifs diffèrent: C'est une erreur coûteuse, qui passe inaperçue parce que le résultat reste plausible. La moyenne simple des moyennes peut tomber juste dans certains cas, notamment si toutes les moyennes sont égales ; la pondération par les effectifs reste la méthode générale.
L'écart type s'exprime dans l'unité des données, pas la variance: Une variance de délais s'exprime en jours au carré. Sa racine, l'écart type, revient en jours et se compare plus directement aux délais.
La médiane n'est pas la moyenne des deux valeurs extrêmes: Après classement, on retient la valeur centrale pour un effectif impair, ou la moyenne des deux valeurs centrales pour un effectif pair. Le milieu de l'étendue utilise, lui, les deux extrêmes.
Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes: Les séries 5, 5, 5, 5 et 1, 3, 7, 9 ont la même moyenne, 5, et des dispersions différentes. La moyenne renseigne sur le centre, sans décrire à elle seule la dispersion.

Lire une distribution asymétrique

Les distributions de revenus ou de patrimoines ont souvent une queue étirée vers les valeurs hautes : leur moyenne dépasse alors généralement leur médiane. Une moyenne différente de la médiane exclut la symétrie, mais cet écart brut ne mesure pas à lui seul le degré d'asymétrie ou l'inégalité : changer d'unité le multiplie sans modifier la forme de la distribution. Sur une série symétrique, la moyenne et la médiane retenue coïncident.

Devant une statistique publiée, se demander lequel des deux indicateurs a été retenu et pourquoi : sur des revenus, annoncer la moyenne plutôt que la médiane change le message sans changer les données.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Pour une série ordonnée, au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.Voir le corrigé
Vrai
On retient la valeur centrale si l'effectif est impair et la moyenne des deux valeurs centrales s'il est pair. Les égalités permettent les valeurs répétées.
2.La moyenne de deux groupes d'effectifs différents s'obtient en faisant la moyenne simple de leurs deux moyennes.Voir le corrigé
Faux
Il faut pondérer chaque moyenne par l'effectif de son groupe. La moyenne simple des deux moyennes ne donne le bon résultat que si les effectifs sont égaux, ou par coïncidence si les deux moyennes sont identiques.
3.Dans la série 1 500, 1 600, 1 700, 1 800 et 5 000 €, remplacer 5 000 € par 6 000 € augmente la moyenne sans changer la médiane.Voir le corrigé
Vrai
La moyenne passe de 2 320 € à 2 520 € ; la médiane reste le troisième salaire, 1 700 €. La valeur centrale n'a pas changé de rang.
4.L'écart type s'exprime dans le carré de l'unité des données.Voir le corrigé
Faux
C'est la variance qui s'exprime en unité au carré ; l'écart type, sa racine, revient à l'unité des données.
5.Sur une distribution de revenus, la moyenne est généralement supérieure à la médiane.Voir le corrigé
Vrai
La distribution est étirée vers le haut : les revenus élevés tirent la moyenne sans déplacer le centre de la série.
6.Les séries 5, 5, 5, 5 et 1, 3, 7, 9 ont la même moyenne et le même écart type.Voir le corrigé
Faux
Elles partagent la moyenne 5, mais l'écart type de la première est nul, celui de la seconde vaut environ 3,16 (variance de 10) : une même moyenne peut cacher des dispersions très différentes.

Textes de référence

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