Fiche de cours

Taux d'évolution, indices, moyenne des taux

14 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Deux hausses successives de 10 % équivalent à une hausse de 21 %.

Comparer deux périodes suppose de choisir un outil : un taux d'évolution rapporte l'écart à la valeur de départ, un indice ramène une série à une base commune, et un taux moyen résume plusieurs évolutions successives. Les trois se déduisent d'une même idée, le coefficient multiplicateur, et c'est en raisonnant par coefficients qu'on évite les erreurs les plus coûteuses — notamment celle qui consiste à faire la moyenne arithmétique de taux annuels.

À retenir

Coefficient multiplicateur : la valeur d'arrivée divisée par la valeur de départ. Un taux de p pour cent correspond à un coefficient de 1 plus p sur 100.
Évolutions successives : les coefficients se multiplient, jamais les taux. Deux hausses de 10 % donnent un coefficient de 1,21, soit 21 % et non 20 %.
Taux réciproque : le taux qui annule une évolution n'est pas son opposé. Après une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % pour revenir au point de départ.
Indice base 100 : chaque valeur est divisée par la valeur de référence et multipliée par 100. Un indice de 112 signifie une hausse de 12 % par rapport à la base.
Un écart entre deux indices d'une même série se lit en pourcentage de la base, pas comme une évolution entre les deux dates : passer de l'indice 110 à l'indice 121 est une hausse de 10 %, et non de 11 % : les 11 points d'écart représentent 11 % de la valeur de base.
Taux moyen sur des périodes de même durée : prendre la racine d'ordre n du coefficient global, puis soustraire 1. Avec des coefficients strictement positifs, la moyenne arithmétique des taux donne le même résultat si les taux sont tous égaux ; sinon elle le surestime.
Point de pourcentage et pourcentage : un taux de chômage qui passe de 8 % à 7,2 % baisse de 0,8 point, soit de 10 % en valeur relative.

Tout ramener au coefficient multiplicateur

Du taux au coefficient, et retour

Évolution	Coefficient	Retour au taux
Hausse de 10 %	1,10	Coefficient − 1, exprimé en pourcentage
Baisse de 10 %	0,90	0,90 − 1 = −0,10, soit −10 %
Hausse de 25 %	1,25	Le retour exige un coefficient de 0,80, soit −20 %
Deux hausses de 10 %	1,10 × 1,10 = 1,21	+21 %
Hausse de 20 % puis baisse de 20 %	1,20 × 0,80 = 0,96	−4 % au total

Le coefficient réciproque est l'inverse, pas l'opposé. Après une multiplication par 1,25, il faut multiplier par 1 ÷ 1,25 = 0,80 pour revenir au point de départ, ce qui correspond à une baisse de 20 %. C'est pourquoi une hausse de 25 % ne s'annule pas par une baisse de 25 %, qui laisserait le résultat 6,25 % en dessous de la valeur initiale.

Les indices base 100

Un indice ramène une série à une base commune : on divise chaque valeur par celle de l'année de référence et l'on multiplie par 100. L'intérêt est de comparer des séries d'unités différentes — un effectif, une masse salariale et un nombre de dossiers — sur un même graphique. L'indice de l'année de base vaut toujours 100 par construction.

Une dépense passe de 250 M€ en 2020 à 280 M€ en 2024. En base 100 en 2020, l'indice 2024 vaut 280 ÷ 250 × 100 = 112. L'écart à la base se lit directement : une hausse de 12 %. Si l'indice 2022 valait 105, l'évolution de 2022 à 2024 vaut 112 ÷ 105 = 1,0667, soit environ +6,7 % — et non 7 % : l'indice a gagné 7 points, mais ces points sont des pourcentages de la valeur de 2020.

Entre deux indices qui ne sont pas la base, on divise ; on ne soustrait pas.

Confusions fréquentes

Entre deux indices, on divise: Passer de l'indice 110 à l'indice 121 correspond à 121 ÷ 110 = 1,10, soit une hausse de 10 %. La différence de 11 points ne mesure une évolution que par rapport à la base.
La moyenne arithmétique n'est pas la méthode générale pour des taux successifs: Pour des hausses de 10 % puis 20 %, le coefficient global vaut 1,32 : la racine carrée de 1,32, moins 1, donne environ 14,9 %, contre 15 % par moyenne arithmétique. Si les deux taux sont égaux, les deux calculs coïncident.
Point de pourcentage et pourcentage ne se confondent pas: Un taux de 8 % qui devient 7,2 % perd 0,8 point, soit 10 % de sa valeur. Les deux formulations sont justes et ne disent pas la même chose.
Une évolution en euros courants n'est pas une évolution en volume: Si les prix augmentent, une dépense qui progresse de 3 % en valeur peut reculer en volume. On divise son coefficient en valeur par l'indice des prix approprié, ramené en base 1.

Le taux moyen d'évolution

Pour n périodes de même durée et des coefficients multiplicateurs strictement positifs, le taux moyen est celui qui donnerait le même résultat final à chaque période. La racine d'ordre n du coefficient global donne le coefficient moyen ; on soustrait 1 pour obtenir le taux, puis on le multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage. Il est inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des taux, avec égalité quand ils sont tous identiques.

Une dépense augmente de 21 % en deux ans. Le coefficient global vaut 1,21 ; le taux moyen annuel est la racine carrée de 1,21, soit 1,10, donc 10 % par an. Vérification : 1,10 × 1,10 = 1,21. Si les deux taux annuels avaient été 0 % puis 21 %, leur moyenne arithmétique donnerait 10,5 %, ce qui serait inexact.

Le contrôle est immédiat : élever le coefficient moyen à la puissance du nombre de périodes doit redonner le coefficient global.

Pour une évolution modérée sur peu de périodes, diviser le taux global par le nombre d'années donne une approximation acceptable — 21 % sur deux ans, environ 10,5 % par an contre 10 % en réalité. L'approximation se dégrade dès que les taux dépassent quelques pour cent.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Deux hausses successives de 10 % équivalent à une hausse de 21 %.Voir le corrigé
Vrai
Les coefficients se multiplient : 1,10 × 1,10 = 1,21.
2.Une hausse de 25 % s'annule par une baisse de 25 %.Voir le corrigé
Faux
Le coefficient réciproque de 1,25 est 0,80, soit une baisse de 20 %. Une baisse de 25 % laisserait 6,25 % sous la valeur de départ.
3.L'indice de l'année de base vaut toujours 100.Voir le corrigé
Vrai
C'est la définition de la base : la valeur de référence divisée par elle-même, multipliée par 100.
4.Passer de l'indice 110 à l'indice 121 correspond à une hausse de 11 %.Voir le corrigé
Faux
Entre deux indices, on divise : 121 ÷ 110 = 1,10, soit une hausse de 10 %. Les 11 points ne se lisent que par rapport à la base.
5.Pour n périodes de même durée, le coefficient moyen d'évolution est la racine d'ordre n du coefficient global.Voir le corrigé
Vrai
Pour n périodes de même durée, la racine d'ordre n du coefficient global donne le coefficient moyen : soustraire 1 pour obtenir le taux. Pour des coefficients positifs, la moyenne arithmétique surestime le taux moyen, sauf si tous les taux sont égaux.
6.Une dépense qui progresse de 3 % en euros courants pendant que les prix augmentent de 4 % progresse en volume.Voir le corrigé
Faux
1,03 ÷ 1,04 ≈ 0,990 : elle recule d'environ 1 % en volume. On utilise ici l'indice de prix correspondant à cette dépense pour passer de la valeur au volume.

Textes de référence

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