Fiche de cours

Dénombrement : permutations, arrangements, combinaisons

14 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

Testez-vous · sans compte

Vrai ou faux ?

Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis compte.

Compter des possibilités sans les énumérer suppose de répondre à deux questions, toujours les mêmes : l'ordre compte-t-il, et peut-on répéter un élément ? Les quatre réponses possibles donnent quatre formules, et se tromper de formule est une erreur plus classique, dans ce chapitre, que les erreurs de calcul.

À retenir

Principe multiplicatif : si un premier choix comporte a possibilités et si, pour chacune, le second en comporte b, l'ensemble des couples comporte a multiplié par b possibilités.
Deux questions à poser : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter un élément ? Les réponses désignent la formule.
Tirages successifs avec remise : le nombre de possibilités est le nombre d'éléments élevé à la puissance du nombre de tirages.
Permutations de n éléments distincts : factorielle de n, c'est-à-dire le produit de tous les entiers de 1 à n.
Arrangements de k éléments parmi n, l'ordre comptant et sans répétition : le produit des k plus grands facteurs, de n à n − k + 1.
Combinaisons de k éléments parmi n, l'ordre ne comptant pas : l'arrangement divisé par factorielle de k, puisque chaque groupe a été compté autant de fois qu'il peut être ordonné.
Propriété de symétrie : choisir k éléments parmi n revient à en écarter n − k, donc les deux nombres de combinaisons sont égaux.

Les deux questions, les quatre formules

Choisir la formule avant de calculer

Ordre	Répétition	Formule	Exemple
Compte	Autorisée	n puissance k	Code à 4 chiffres : 10 puissance 4 = 10 000
Compte	Interdite	Arrangement : n × (n−1) × … sur k facteurs	Podium de 3 parmi 8 : 8 × 7 × 6 = 336
Ne compte pas	Interdite	Combinaison : arrangement ÷ factorielle de k	Jury de 3 parmi 8 : 336 ÷ 6 = 56
Ne compte pas	Autorisée	Hors programme du concours	—

Pour un choix d'éléments distincts sans répétition, le test qui tranche entre arrangement et combinaison tient en une phrase : si l'on échange deux éléments choisis et que la situation change, l'ordre compte. Un podium change quand on intervertit le premier et le deuxième ; un jury de trois personnes ne change pas quand on intervertit deux de ses membres.

Calculer sans erreur

Combien de façons de choisir 2 agents parmi 5 pour former un binôme ? L'ordre ne compte pas : on calcule l'arrangement, 5 × 4 = 20, puis on divise par factorielle de 2, soit 2 : le résultat est 10. Si l'on désignait un titulaire et un suppléant, l'ordre compterait et la réponse serait 20.

Le même énoncé, une nuance de vocabulaire, un résultat qui double : c'est là que l'exercice se joue.

Valeurs qui reviennent

Calcul	Résultat
Factorielle de 5	120
Factorielle de 0	1, par convention
Arrangement de 2 parmi 5	20
Combinaisons de 2 parmi 5	10
Combinaisons de 3 parmi 10	120
Combinaisons de 5 parmi 49	1 906 884

Confusions fréquentes

Confondre arrangement et combinaison multiplie ou divise le résultat par factorielle de k: Le rapport entre les deux vaut factorielle de k. Pour k = 3, l'arrangement vaut six fois la combinaison : l'écart est trop grand pour passer inaperçu si l'on contrôle l'ordre de grandeur.
« Avec remise » n'est pas toujours écrit: Un code, un mot de passe, un tirage d'un dé répété : la répétition est implicite. Un tirage de billets sans les remettre dans l'urne l'exclut tout aussi implicitement.
Factorielle de zéro vaut 1: C'est une convention, indispensable pour que les formules restent valables aux bornes — notamment pour le nombre de combinaisons de zéro élément parmi n, qui vaut 1.
Choisir k parmi n revient à écarter n − k: Les combinaisons de 47 parmi 49 se calculent comme celles de 2 parmi 49, soit 1 176. Utiliser la symétrie évite des calculs inutilement lourds.

À quoi cela sert en probabilités

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Les deux dénombrements doivent compter les mêmes issues élémentaires : pour deux dossiers, on peut compter des paires sans ordre ou des couples ordonnés, mais il faut garder cette convention au numérateur et au dénominateur.

Une urne contient 5 dossiers conformes et 3 non conformes. On en tire 2 au hasard, simultanément. Le nombre de tirages possibles est le nombre de combinaisons de 2 parmi 8, soit 28. Les tirages de deux dossiers conformes sont au nombre de 10, celui des combinaisons de 2 parmi 5. La probabilité vaut donc 10 ÷ 28, soit environ 0,357.

Tirage simultané : l'ordre ne compte pas, au numérateur comme au dénominateur.

Contrôler l'ordre de grandeur avant de valider : une probabilité supérieure à 1 ou un nombre de combinaisons supérieur au nombre d'arrangements signalent une formule inversée.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis compte.Voir le corrigé
Vrai
C'est ce qui le distingue de la combinaison ; le rapport entre les deux vaut factorielle du nombre d'éléments choisis.
2.Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est supérieur au nombre d'arrangements correspondant.Voir le corrigé
Faux
C'est l'inverse : la combinaison s'obtient en divisant l'arrangement par factorielle de k, elle lui est donc inférieure ou égale.
3.Un code à quatre chiffres décimaux offre 10 000 possibilités.Voir le corrigé
Vrai
L'ordre compte et la répétition est autorisée : 10 puissance 4 égale 10 000.
4.Factorielle de zéro vaut zéro.Voir le corrigé
Faux
Elle vaut 1 par convention, ce qui préserve la validité des formules aux bornes.
5.Choisir 47 éléments parmi 49 revient au même nombre de possibilités que d'en choisir 2.Voir le corrigé
Vrai
Choisir k éléments équivaut à en écarter n − k : la symétrie évite des calculs lourds.
6.On tire au hasard deux dossiers simultanément parmi cinq conformes et trois non conformes. La probabilité de tirer deux conformes vaut l'arrangement de 2 parmi 5 divisé par la combinaison de 2 parmi 8.Voir le corrigé
Faux
Ce rapport vaut 20/28, alors que la probabilité cherchée vaut 10/28. On peut compter les paires (10/28) ou les couples ordonnés (20/56), en gardant la même convention aux deux étages.

Textes de référence

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