Fiche de cours

Probabilités conditionnelles, indépendance, probabilités totales, formule de Bayes

16 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Si P(A) > 0, la probabilité de B sachant A vaut la probabilité de leur intersection divisée par celle de A.

Une probabilité conditionnelle répond à la question « sachant que ceci s'est produit, quelle chance a cela ? ». C'est l'outil du contrôle fiscal comme du dépistage médical, et il produit des résultats qui heurtent l'intuition : un contrôle qui détecte neuf anomalies sur dix peut signaler une majorité de dossiers parfaitement réguliers, dès lors que les anomalies sont rares. L'arbre pondéré est la façon la plus sûre de ne pas s'y perdre.

À retenir

Probabilité de B sachant A : la probabilité que A et B se produisent ensemble, divisée par la probabilité de A — qui doit être non nulle.
Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur réalisation simultanée est le produit de leurs probabilités. Si la condition a une probabilité positive, savoir qu'elle s'est réalisée ne change pas la probabilité de l'autre événement.
Indépendant n'est pas incompatible : deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble, ce qui est le contraire de l'indépendance dès que leurs probabilités sont non nulles.
Formule des probabilités totales : on décompose l'événement selon les cas possibles, on multiplie le long de chaque branche de l'arbre, et on additionne les branches qui aboutissent à l'événement cherché.
Formule de Bayes : elle renverse le conditionnement, en passant de « sachant la cause, la probabilité de l'effet » à « sachant l'effet, la probabilité de la cause ».
Réunion de deux événements : la somme de leurs probabilités moins celle de leur intersection, faute de quoi la partie commune est comptée deux fois.
L'arbre pondéré est l'outil de résolution : sur chaque branche on multiplie, entre les branches on additionne, et la somme des probabilités partant d'un même nœud vaut 1.

Conditionner, et ce que cela suppose

Conditionner, c'est réduire l'univers aux cas où la condition se réalise. Si P(A) > 0, P(B sachant A) = P(A et B) / P(A). Lorsque P(A) et P(B) sont positives, les deux conditionnements peuvent différer, mais aussi être égaux, notamment lorsque P(A) = P(B).

Trois relations à ne pas confondre

Situation	Traduction	Conséquence
A et B indépendants	La probabilité de A et B vaut le produit des deux	Si P(A) > 0, savoir que A s'est produit ne change rien à la probabilité de B
A et B incompatibles	La probabilité de A et B vaut zéro	Ils ne peuvent pas se produire ensemble
A et B quelconques	La probabilité de A ou B vaut la somme moins l'intersection	La partie commune ne se compte qu'une fois

On lance deux dés équilibrés. L'événement « la somme vaut 7 » a une probabilité de 6 sur 36, soit 1 sur 6 : les couples favorables sont 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2 et 6-1. Sachant que le premier dé affiche 3, la probabilité que la somme vaille 7 devient 1 sur 6 également, puisqu'il faut exactement un 4 au second dé : les deux événements sont ici indépendants.

Le même calcul avec « la somme vaut 12 » donnerait un résultat différent selon le premier dé : l'indépendance n'a rien d'automatique.

L'arbre pondéré et les probabilités totales

Un arbre pondéré organise le calcul : chaque nœud se subdivise en branches dont les probabilités totalisent 1, on multiplie le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'ensemble des conditions réunies, et l'on additionne les chemins qui conduisent à l'événement cherché. C'est exactement la formule des probabilités totales, sous une forme qui limite les erreurs d'application.

Sur l'ensemble des dossiers, 2 % comportent une anomalie. Un contrôle automatique signale 90 % des dossiers anormaux, mais signale aussi à tort 5 % des dossiers réguliers. La probabilité qu'un dossier soit signalé vaut 0,02 × 0,90 + 0,98 × 0,05, soit 0,018 + 0,049 = 0,067.

Deux branches aboutissent à « signalé » : la vraie détection et la fausse alerte. Les additionner est la formule des probabilités totales.

Suite du même cas : parmi les dossiers signalés, quelle proportion comporte réellement une anomalie ? On divise la branche utile par le total : 0,018 ÷ 0,067, soit environ 0,269. Moins de 27 % des dossiers signalés comportent une anomalie, alors même que le contrôle en détecte 90 %.

C'est la formule de Bayes. Le résultat tient à la rareté de l'anomalie : 98 % des dossiers étant réguliers, 5 % d'erreurs y produisent beaucoup de fausses alertes.

Confusions fréquentes

Deux événements incompatibles ne sont pas indépendants: Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : savoir que l'un s'est produit rend l'autre impossible, ce qui est une information maximale.
Inverser le conditionnement peut changer la probabilité: Dans l'exemple du contrôle, 90 % des dossiers anormaux sont signalés, mais seulement 27 % des dossiers signalés sont anormaux. Confondre les deux est une erreur classique du chapitre.
Ne pas oublier de retrancher l'intersection: La probabilité de A ou B n'est la somme des deux que si les événements sont incompatibles. Sinon, la partie commune serait comptée deux fois.
La rareté de l'événement change tout: À taux de détection et de fausses alertes fixés comme dans l'exemple, plus l'anomalie est rare, plus la part des fausses alertes parmi les signalements augmente. C'est un raisonnement à connaître pour commenter un dispositif de contrôle.

Ce que cela permet de dire dans un dossier

Le taux de détection ne suffit pas à juger les signalements. Dans l'exemple, en conservant 90 % de détection et 5 % de fausses alertes, une population où l'anomalie est plus fréquente donne une plus grande proportion de vrais signalements. Cela peut appuyer un ciblage, mais ne tranche pas seul le choix d'une politique de contrôle, qui dépend aussi des coûts et des objectifs.

Raisonner sur une population de 10 000 plutôt qu'en probabilités : 200 dossiers anormaux dont 180 signalés, 9 800 réguliers dont 490 signalés à tort, donc 670 signalements pour 180 vraies anomalies. Le résultat est le même et le calcul se fait de tête.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Si P(A) > 0, la probabilité de B sachant A vaut la probabilité de leur intersection divisée par celle de A.Voir le corrigé
Vrai
Conditionner revient à réduire l'univers aux cas où A est réalisé : la probabilité de A joue le rôle du nouveau total.
2.Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont indépendants.Voir le corrigé
Faux
C'est le contraire : savoir que l'un s'est produit rend l'autre impossible, donc modifie sa probabilité de façon maximale.
3.Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités.Voir le corrigé
Vrai
C'est la définition. Lorsque l'événement sur lequel on conditionne a une probabilité positive, sa réalisation ne modifie pas la probabilité de l'autre.
4.La probabilité de A ou B vaut toujours la somme de leurs probabilités, diminuée de la probabilité de leur intersection.Voir le corrigé
Vrai
C'est la formule générale, valable pour deux événements quelconques ; lorsque A et B sont incompatibles, l'intersection est de probabilité nulle et l'on retrouve la simple somme.
5.Avec 2 % de dossiers anormaux, un contrôle qui détecte 90 % des anomalies et signale 5 % des dossiers réguliers produit des signalements justifiés à 90 %.Voir le corrigé
Faux
90 % est la probabilité d'être signalé sachant qu'il y a anomalie, pas celle d'une anomalie sachant qu'il y a signalement. Sur 10 000 dossiers : 180 vraies détections et 490 fausses alertes, soit environ 27 % de signalements justifiés.
6.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.Voir le corrigé
Vrai
Les branches décrivent tous les cas possibles à partir de ce nœud, et elles s'excluent mutuellement.

Textes de référence

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