Fiche de cours

Lois discrètes : Bernoulli, binomiale, espérance, variance

16 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p vaut n multiplié par p.

Une expérience à deux issues répétée un certain nombre de fois, dans des conditions identiques et indépendantes : c'est un schéma fréquent des situations de contrôle, de sondage ou de conformité. La loi de Bernoulli décrit une seule répétition, la loi binomiale en décrit n. Trois formules suffisent — la probabilité d'obtenir exactement k succès, l'espérance et la variance — à condition de vérifier d'abord que les conditions d'application sont réunies.

À retenir

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience ; sa loi donne la probabilité de chaque valeur, et la somme de ces probabilités vaut 1.
Loi de Bernoulli de paramètre p : la variable vaut 1 pour un succès, de probabilité p, et 0 sinon, de probabilité 1 − p. Son espérance vaut p, sa variance p × (1 − p).
Schéma de Bernoulli : n répétitions identiques et indépendantes de la même épreuve à deux issues. La variable qui compte les succès suit alors une loi binomiale.
Probabilité d'obtenir exactement k succès : le nombre de combinaisons de k parmi n, multiplié par p puissance k et par (1 moins p) puissance n moins k.
Le nombre de combinaisons compte les positions possibles des succès parmi les n répétitions : c'est ce facteur qui distingue la binomiale d'un simple produit.
Espérance d'une loi binomiale : n multiplié par p. Variance : n multiplié par p et par 1 moins p. L'écart type en est la racine carrée.
Trois conditions à vérifier avant d'appliquer la loi : deux issues seulement, répétitions identiques, indépendance. Un tirage sans remise dans une petite population ne les respecte pas.

De Bernoulli à la binomiale

Deux lois, une continuité

	Bernoulli	Binomiale
Description	Une épreuve à deux issues	n épreuves identiques et indépendantes
Valeurs possibles	0 ou 1	De 0 à n
Paramètres	p	n et p
Espérance	p	n multiplié par p
Variance	p multiplié par (1 − p)	n multiplié par p et par (1 − p)

La formule binomiale se lit en trois morceaux : la probabilité d'une séquence particulière contenant k succès et n − k issues contraires vaut p puissance k multiplié par (1 − p) puissance n − k ; comme les succès peuvent occuper n'importe quelles positions, on multiplie par le nombre de combinaisons de k parmi n. Oublier ce facteur revient à ne compter qu'une seule des séquences possibles, et c'est une erreur classique du chapitre.

On tire indépendamment 10 dossiers dans une population où 20 % sont non conformes. La probabilité qu'aucun ne le soit vaut 0,8 puissance 10, soit environ 0,107. La probabilité qu'un seul le soit vaut 10 × 0,2 × 0,8 puissance 9, soit environ 0,268. La probabilité qu'au moins un le soit vaut donc 1 − 0,107, environ 0,893.

« Au moins un » se calcule plus simplement par l'événement contraire : c'est un seul calcul au lieu de dix.

Espérance, variance et interprétation

L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : c'est ce que l'on obtiendrait en moyenne si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. Pour une loi binomiale, elle vaut simplement n multiplié par p, ce qui se retient sans formule : sur 10 dossiers dont 20 % sont non conformes, on en attend 2 en moyenne.

Toujours sur 10 dossiers avec une proportion de 20 % : l'espérance vaut 10 × 0,2 = 2, la variance vaut 10 × 0,2 × 0,8 = 1,6, et l'écart type vaut la racine de 1,6, soit environ 1,26. On attend donc 2 dossiers non conformes, avec une dispersion d'un peu plus d'un dossier.

L'écart type, 1,26, mesure la dispersion : ce n'est pas un nombre de dossiers qu'un tirage peut donner. L'espérance, ici 2, est un entier qu'on peut observer ; avec 15 % de non-conformité, elle vaudrait 1,5 dossier, valeur qu'aucun tirage ne donne.

Confusions fréquentes

Oublier le facteur combinatoire: La probabilité d'obtenir exactement 3 succès sur 5 n'est pas le seul produit des probabilités : il faut la multiplier par le nombre de positions possibles des succès, ici 10.
L'espérance n'est pas forcément la valeur la plus probable: Elle peut même ne pas être atteignable : une espérance de 1,5 dossier (10 dossiers à 15 %) n'est réalisable par aucun tirage. Elle décrit une moyenne à long terme.
Plusieurs tirages sans remise dans un lot mêlant les deux catégories: Dès deux tirages, les résultats de conformité dépendent les uns des autres : retirer un dossier modifie la proportion restante. Une approximation binomiale peut convenir si l'échantillon est très petit devant le lot. Un seul tirage relève d'une Bernoulli ; un lot homogène donne un nombre de succès constant.
« Au moins un » passe par l'événement contraire: Calculer la probabilité qu'aucun succès ne survienne, puis retrancher à 1, remplace la somme de tous les cas de 1 à n.

Vérifier les conditions avant d'appliquer

Trois conditions, trois contre-exemples

Condition	Contre-exemple
Deux issues seulement	Un contrôle qui classe en conforme, à régulariser ou irrégulier
Répétitions identiques	Un taux d'anomalie qui varie selon le service contrôlé
Indépendance	Deux tirages sans remise dans un lot de 20 dossiers, dont 10 conformes et 10 non conformes

En pratique, on peut regrouper les issues pour se ramener à deux — conforme ou non — et l'on tolère la dépendance d'un tirage sans remise dès lors que l'échantillon représente une part très réduite de la population. Ces approximations doivent être énoncées : une note qui applique une loi binomiale sans dire pourquoi les conditions sont réunies laisse le lecteur sans moyen de contrôle.

L'espérance et l'écart type donnent des repères de position et de dispersion, sans suffire à certifier un calcul. Pour une table complète de probabilités, vérifier que leur somme vaut 1 et que la somme des k × P(X = k) vaut n × p.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p vaut n multiplié par p.Voir le corrigé
Vrai
Sur 10 répétitions avec une probabilité de 0,2, on attend 2 succès en moyenne.
2.La probabilité d'obtenir exactement k succès est le simple produit des probabilités de chaque issue.Voir le corrigé
Faux
Il faut multiplier par le nombre de combinaisons de k parmi n, qui compte les positions possibles des succès.
3.La variance d'une loi binomiale vaut n multiplié par p et par 1 moins p.Voir le corrigé
Vrai
L'écart type en est la racine carrée, et il s'exprime dans l'unité de comptage des succès.
4.Une variable suivant une loi binomiale de paramètres 10 et 0,15 peut prendre la valeur 1,5, égale à son espérance.Voir le corrigé
Faux
L'espérance vaut 10 × 0,15 = 1,5, mais la variable ne prend que des valeurs entières de 0 à 10 : l'espérance décrit une moyenne à long terme, non une valeur réalisable.
5.On tire deux dossiers sans remise parmi cinq conformes et cinq non conformes. Leur nombre de non-conformes suit exactement une loi binomiale de paramètres 2 et 0,5.Voir le corrigé
Faux
La probabilité de deux non-conformes vaut (5/10) × (4/9) = 2/9, alors que la loi binomiale de paramètres 2 et 0,5 donnerait 1/4. Les tirages sans remise sont ici dépendants.
6.La probabilité d'obtenir au moins un succès se calcule commodément par l'événement contraire.Voir le corrigé
Vrai
On calcule la probabilité d'aucun succès, puis on la retranche à 1 : un seul calcul au lieu de n.

Textes de référence

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