Se repérer dans un repère orthonormé : points, droites, positions relatives
13 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
La formule de distance entre deux points est une application du théorème de Pythagore.
Dans un repère orthonormé, un point est un couple de nombres et une droite est une équation. Cette traduction rend calculables des questions géométriques : le milieu d'un segment, la distance entre deux points, le parallélisme de deux droites, leur intersection. Le programme de l’option mathématiques de B demande de caractériser les points, droites et positions relatives dans un repère orthonormé.
À retenir
- Un repère est orthonormé quand ses deux axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité — condition indispensable pour que la formule de distance soit valable.
- Coordonnées du milieu d'un segment : la demi-somme des abscisses, la demi-somme des ordonnées.
- Distance entre deux points : la racine carrée de la somme des carrés des écarts d'abscisse et d'ordonnée — c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux points.
- Coefficient directeur d'une droite non verticale passant par deux points : l'écart des ordonnées divisé par l'écart des abscisses.
- Une droite non verticale a une équation de la forme y = mx + p ; une droite verticale a une équation de la forme x = c, qui n'entre pas dans ce modèle.
- Deux droites non verticales sont parallèles, éventuellement confondues, quand elles ont le même coefficient directeur ; elles sont sécantes sinon, et le point d'intersection se trouve en résolvant le système des deux équations.
- Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1.
Les trois formules
| Objet | Formule | Exemple avec A(1 ; 2) et B(7 ; 10) |
|---|---|---|
| Milieu | Demi-somme des abscisses, demi-somme des ordonnées | (4 ; 6) |
| Distance | Racine de (écart des abscisses² + écart des ordonnées²) | Racine de (36 + 64) = 10 |
| Coefficient directeur | Écart des ordonnées ÷ écart des abscisses | 8 ÷ 6, soit environ 1,33 |
La formule de distance n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore : les deux points sont les extrémités de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent l'écart d'abscisse et l'écart d'ordonnée. C'est pourquoi elle exige un repère orthonormé — sans axes perpendiculaires, les déplacements ne forment pas un triangle rectangle ; avec des unités différentes, les écarts de coordonnées doivent être convertis en longueurs.
A(1 ; 2) et B(7 ; 10). Écart d'abscisse : 6. Écart d'ordonnée : 8. Distance : racine de (36 + 64), soit racine de 100, donc 10. Milieu : ((1 + 7) ÷ 2 ; (2 + 10) ÷ 2), soit (4 ; 6). Coefficient directeur de la droite (AB) : 8 ÷ 6, soit 4/3.
Équations de droites et positions relatives
| Situation | Traduction algébrique |
|---|---|
| Droite non verticale | y = mx + p, m coefficient directeur, p ordonnée à l'origine |
| Droite verticale | x = c ; elle n'a pas de coefficient directeur |
| Droite horizontale | y = p ; coefficient directeur nul |
| Deux droites non verticales parallèles distinctes | Même coefficient directeur, ordonnées à l'origine différentes |
| Deux droites non verticales confondues | Même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine |
| Deux droites non verticales sécantes | Coefficients directeurs différents |
| Deux droites non verticales perpendiculaires | Produit des coefficients directeurs égal à −1 |
Chercher le point d'intersection de deux droites revient à résoudre le système formé par leurs deux équations. Si elles sont non verticales, on égalise les deux expressions de y, on trouve l'abscisse, puis on remplace pour obtenir l'ordonnée. Une impossibilité indique des parallèles distinctes. Si une droite est verticale, on remplace son abscisse constante dans l’équation de l’autre ; deux verticales sont parallèles ou confondues.
Confusions fréquentes
- L'ordre des coordonnées ne s'invente pas
- L'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite. Le point (3 ; 5) n'est pas le point (5 ; 3), et un QCM peut proposer les deux.
- Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur
- L'écart d'abscisse serait nul, et la division impossible. Son équation est x = c, ce qui la place hors du modèle y = mx + p.
- Le critère du produit égal à −1 concerne deux droites non verticales dans un repère orthonormé
- Le critère vient du produit scalaire des vecteurs (1 ; m) et (1 ; m′) : 1 + mm′ = 0. Une verticale, sans coefficient directeur, est perpendiculaire à une horizontale.
- Même coefficient directeur ne veut pas dire droites distinctes
- Si les ordonnées à l'origine coïncident aussi, les droites sont confondues, pas parallèles distinctes : il y a alors une infinité de points communs.
Ce que le repère permet de démontrer
| Question | Outil |
|---|---|
| Ce quadrilatère est-il un parallélogramme ? | Les diagonales ont le même milieu |
| Ce triangle est-il rectangle ? | Les trois distances, puis la réciproque de Pythagore |
| Ces trois points sont-ils alignés ? | Comparer les pentes de deux droites non verticales passant par un même point ; si l’une est verticale, vérifier l’égalité des trois abscisses |
Faire un croquis même approximatif avant de calculer : il ne prouve rien, mais il élimine les réponses absurdes et rend visible l'ordre de grandeur attendu.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La formule de distance entre deux points est une application du théorème de Pythagore.Voir le corrigé
Vrai
Les deux points sont les extrémités de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les écarts de coordonnées.
2.Les coordonnées du milieu d'un segment sont la somme des coordonnées des extrémités.Voir le corrigé
Faux
Ce sont les demi-sommes : la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
3.Deux droites de même coefficient directeur n'ont pas de point commun.Voir le corrigé
Faux
Elles sont parallèles, mais si leurs ordonnées à l'origine coïncident aussi, elles sont confondues et ont une infinité de points communs.
4.Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur.Voir le corrigé
Vrai
L'écart d'abscisse entre deux de ses points est nul, ce qui rend la division impossible ; son équation est du type x = c.
5.Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1.Voir le corrigé
Vrai
Le critère est propre au repère orthonormé et ne se transpose pas à un repère quelconque.
6.Le coefficient directeur d'une droite non verticale passant par deux points est l'écart des abscisses divisé par l'écart des ordonnées.Voir le corrigé
Faux
C'est l'écart des ordonnées divisé par l'écart des abscisses ; inverser le rapport fournirait l'inverse du coefficient et rendrait la division impossible pour une droite horizontale.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- MathSV — Produit scalaire, orthogonalité et distance euclidienne — Université Claude Bernard Lyon 1 (nouvel onglet)
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