Fiche de cours

Dérivées, tangente et sens de variation

15 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

Testez-vous · sans compte

Vrai ou faux ?

Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point.

Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point : il mesure la pente locale. De là découle tout le reste — le signe de la dérivée donne le sens de variation, son annulation signale un extremum possible, et sa valeur en un point donne l'équation de la tangente. La table des dérivées usuelles, la linéarité et l’étude du signe permettent de traiter les fonctions dérivées citées au programme de l’option mathématiques de B.

À retenir

Le nombre dérivé en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a : il donne la pente instantanée.
Dérivées usuelles : une constante donne 0, x donne 1, x² donne 2x, x³ donne 3x², et plus généralement x puissance n donne n fois x puissance n − 1.
Deux règles d'opération suffisent le plus souvent : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée d'un produit par une constante est cette constante fois la dérivée.
Signe de la dérivée et sens de variation : dérivée positive sur un intervalle veut dire fonction croissante, dérivée négative veut dire décroissante, dérivée nulle sur tout un intervalle veut dire constante.
En un point intérieur où la fonction est dérivable, un extremum local impose une dérivée nulle. L’annulation seule ne suffit pas ; un passage du négatif au positif établit un minimum, le passage inverse un maximum.
Équation de la tangente au point d'abscisse a : le nombre dérivé multiplie l'écart à a, auquel on ajoute l'image de a.
Le tableau de variations se construit en trois lignes : les valeurs de x, le signe de la dérivée, les flèches de variation avec les extremums.

La table des dérivées et les deux règles

Dérivées à connaître

Fonction	Dérivée	Remarque
Une constante k	0	Une droite horizontale a une pente nulle
x	1	La droite y = x a une pente de 1
x²	2x	La pente change avec le point
x³	3x²	Toujours positive ou nulle : la fonction est croissante
x puissance n	n fois x puissance n − 1	Sur le domaine de dérivabilité ; pour n négatif, x est non nul
1 divisé par x	−1 divisé par x²	Toujours négative : décroissante sur chaque branche
Racine carrée de x	1 divisé par (2 fois racine de x)	La fonction vaut 0 en 0, mais n’y est pas dérivable

Dériver f(x) = 3x² − 5x + 4. La dérivée de 3x² vaut 3 × 2x = 6x, celle de −5x vaut −5, celle de 4 vaut 0. Donc la dérivée est 6x − 5. Elle s'annule pour x = 5/6, environ 0,83 : c'est l'abscisse du sommet de la parabole.

Une fonction du second degré a une dérivée du premier degré : le sommet se trouve donc toujours par une équation simple.

Du signe de la dérivée au tableau de variations

Pour une fonction dérivable sur un intervalle ouvert, une dérivée strictement positive fait croître la fonction, une dérivée strictement négative la fait décroître. Le tableau de variations se lit donc en deux temps : on cherche d'abord où la dérivée s'annule, on étudie ensuite son signe de part et d'autre, et les flèches suivent. Un changement de signe établit un extremum local — d'un moins à un plus pour un minimum, d'un plus à un moins pour un maximum.

Pour f(x) = x² − 4x + 3, la dérivée vaut 2x − 4, qui s'annule en x = 2. Elle est négative avant 2 et positive après : la fonction décroît puis croît, avec un minimum en x = 2. Ce minimum vaut f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.

Contrôle : les racines de la fonction sont 1 et 3, et le sommet d'une parabole se trouve à mi-chemin, en 2. Les deux méthodes concordent.

Confusions fréquentes

Une dérivée nulle ne garantit pas un extremum: La fonction cube a une dérivée nulle en zéro, mais elle reste strictement croissante : zéro n’est ni un minimum ni un maximum. Le changement de signe fournit un critère suffisant ; une fonction constante a, elle, des extremums locaux non stricts sans changement de signe.
Le signe de la dérivée ne dit rien du signe de la fonction: Une fonction peut être négative et croissante. Confondre « la dérivée est positive » et « la fonction est positive » est une erreur classique sur ce chapitre.
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées: Seules la somme et la multiplication par une constante se dérivent terme à terme. Pour un produit de deux fonctions, il existe une règle spécifique, hors des cas les plus simples du programme.
Un extremum local n'est pas forcément un extremum global: Sur un intervalle plus large, une autre valeur peut être plus basse ou plus haute. Le tableau de variations complet est le seul moyen de trancher.

L'équation de la tangente

La tangente au point d'abscisse a est la droite qui passe par le point de la courbe d'abscisse a et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé en a. Son équation s'écrit : le nombre dérivé en a, multiplié par l'écart entre x et a, auquel on ajoute l'image de a. Une tangente horizontale correspond donc exactement à un nombre dérivé nul.

Pour f(x) = x², la tangente au point d'abscisse 3 a pour coefficient directeur f'(3) = 2 × 3 = 6, et passe par le point (3 ; 9). Son équation est y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9. Contrôle en x = 3 : 18 − 9 = 9, ce qui est bien l'ordonnée du point de contact.

Une tangente touche la courbe sans nécessairement la traverser ; en un point d'inflexion, elle la traverse.

Contrôler une équation de tangente en y remplaçant x par a : on doit retrouver exactement l'image de a. Ce test attrape une erreur sur la constante, pas une erreur sur le coefficient directeur, qui se contrôle en le comparant au nombre dérivé.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point.Voir le corrigé
Vrai
C'est la définition géométrique de la dérivée : elle mesure la pente locale de la courbe.
2.Une dérivée positive sur un intervalle signifie que la fonction y est positive.Voir le corrigé
Faux
Elle signifie que la fonction y est croissante ; une fonction peut être négative et croissante en même temps.
3.La dérivée de x² est 2x.Voir le corrigé
Vrai
C'est le cas particulier de la règle générale : x puissance n a pour dérivée n fois x puissance n − 1.
4.Une dérivée qui s'annule en un point garantit la présence d'un extremum.Voir le corrigé
Faux
La fonction cube fournit un contre-exemple : sa dérivée s’annule en zéro, mais elle reste strictement croissante. Le changement de signe donne un critère suffisant, sans être nécessaire pour tout extremum non strict.
5.La dérivée d'une somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées.Voir le corrigé
Vrai
Pour deux fonctions dérivables, la somme et la différence se dérivent terme à terme. Un facteur constant reste en facteur.
6.La dérivée de la fonction inverse est positive.Voir le corrigé
Faux
Elle vaut moins un divisé par x au carré, donc elle est toujours négative : la fonction décroît sur chacune de ses branches.

Textes de référence

Accès DGFiP est un service indépendant : il n’est ni affilié ni validé par la Direction générale des Finances publiques. En cas de doute, le texte officiel fait foi.