Fiche de cours

Fonctions usuelles : ensemble de définition, courbe, parité, variations

14 min de lectureAu programme du concours de contrôleur des Finances publiques

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Vrai ou faux ?

Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une seule image.

Une fonction associe à chaque nombre d'un ensemble un et un seul résultat. Cette exigence d'unicité est ce qui distingue une fonction d'une relation quelconque, et elle se lit sur un graphique : toute droite verticale coupe la courbe au plus une fois. Le programme de l’option mathématiques de B comprend les fonctions affine, carré, inverse, racine carrée, cube, les polynômes factorisés de degrés deux et trois et l’exponentielle.

À retenir

Une fonction associe à chaque nombre au plus une image ; un nombre peut en revanche avoir plusieurs antécédents. L'image se lit verticalement, l'antécédent horizontalement.
L'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs pour lesquelles le calcul est possible : on exclut ce qui annule un dénominateur et ce qui rend négatif l'intérieur d'une racine.
Fonctions usuelles de l’option B : affine, carré, inverse, racine carrée, cube, polynômes factorisés de degrés deux et trois, exponentielle.
Une fonction affine s'écrit ax + b : a est le coefficient directeur, qui donne le sens de variation, b l'ordonnée à l'origine, qui donne le point de départ sur l'axe vertical.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine. La fonction carré est paire, la fonction inverse est impaire.
Croissante veut dire que l'ordre est conservé, décroissante qu'il est inversé. Un tableau de variations résume ces informations avec les extremums.
Résoudre graphiquement f(x) = k revient à chercher les abscisses des points d'intersection entre la courbe et la droite horizontale d'ordonnée k.

Le vocabulaire, et ce qu'il permet de lire

Quatre mots, quatre lectures graphiques

Mot	Définition	Lecture sur la courbe
Image de a	Le résultat f(a)	On monte depuis a, on lit l'ordonnée
Antécédent de k	Tout x tel que f(x) = k	On trace l'horizontale d'ordonnée k, on lit les abscisses
Ensemble de définition	Les x pour lesquels le calcul est possible	La projection de la courbe sur l'axe horizontal
Extremum	Le maximum ou le minimum atteint	Le sommet ou le creux de la courbe

L'unicité de l'image est la propriété qui définit une fonction : à un nombre correspond au plus un résultat. Sur un graphique, cela se contrôle d'un coup d'œil — si une verticale coupe la courbe deux fois, ce n'est pas la représentation d'une fonction. En revanche, une horizontale peut la couper autant de fois qu'elle veut : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, et la parabole en donne l'exemple le plus simple.

Les fonctions de référence

Allure, ensemble de définition, variations

Fonction	Courbe	Définie sur	Variations
Affine : ax + b	Droite	Tous les réels	Croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0
Carré : x²	Parabole vers le haut	Tous les réels	Décroissante puis croissante, minimum 0 en 0
Inverse : 1/x	Hyperbole, deux branches	Tous les réels sauf 0	Décroissante sur chaque branche, jamais nulle
Racine carrée	Demi-branche depuis l'origine	Les réels positifs ou nuls	Croissante
Cube : x³	Courbe symétrique par rapport à l’origine	Tous les réels	Strictement croissante ; pas d’extremum
Polynômes factorisés de degrés deux et trois	Parabole pour le degré deux ; allure dépendant des facteurs au degré trois	Tous les réels	Signe par les facteurs ; variations par la dérivée
Exponentielle : exp(x) = eˣ	Courbe passant par (0 ; 1), au-dessus de l’axe horizontal	Tous les réels	Strictement croissante ; tend vers 0 quand x tend vers −∞, vers +∞ quand x tend vers +∞

Pour la fonction affine f(x) = −2x + 5 : le coefficient directeur vaut −2, donc la fonction est décroissante ; l'ordonnée à l'origine vaut 5, donc la droite coupe l'axe vertical en 5. Elle s'annule pour x = 2,5, puisque −2 × 2,5 + 5 = 0. Deux points suffisent à la tracer : (0 ; 5) et (2,5 ; 0).

Le coefficient directeur se lit aussi comme un déplacement : quand x augmente de 1, l'ordonnée diminue de 2.

Pour g(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3), les racines sont −2, 1 et 3. Le signe est négatif avant −2, positif entre −2 et 1, négatif entre 1 et 3, positif après 3. Sa dérivée est 3x² − 4x − 5 : ses deux zéros donnent les changements de variation. Pour h(x) = exp(x), h(0) = 1 et exp(u + v) = exp(u) × exp(v) ; en particulier exp(−u) = 1/exp(u).

Un polynôme de degré trois n’est pas nécessairement la fonction cube : ses variations dépendent de ses coefficients. L’exponentielle est strictement positive, sans racine réelle.

Confusions fréquentes

La fonction inverse n'est pas décroissante « sur son ensemble de définition »: Elle est décroissante sur chacune des deux branches prises séparément. Entre x = −1 et x = 1, elle passe de −1 à 1 : l'ordre n'est pas inversé d'une branche à l'autre.
Une image est unique, un antécédent ne l'est pas: Pour la fonction carré, 9 a deux antécédents, 3 et −3, alors que 3 n'a qu'une image, 9. Confondre les deux sens de lecture est une erreur classique.
Un coefficient directeur négatif ne signifie pas une courbe sous l'axe: Il indique le sens de variation, pas le signe des valeurs. La droite d'équation −2x + 5 est positive pour tout x inférieur à 2,5.
Deux exclusions à vérifier dans les expressions étudiées: Pour les quotients et racines carrées étudiés ici, exclure les zéros du dénominateur et les valeurs rendant le radicande négatif. Les polynômes et l’exponentielle sont définis sur tous les réels ; un contexte peut aussi restreindre le domaine.

Parité et symétries

Sur un domaine symétrique par rapport à zéro, une fonction est paire lorsque, pour tout x du domaine, f(−x) est égal à f(x) : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire lorsque f(−x) est égal à l'opposé de f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l'origine. La plupart des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre — c'est le cas de toute fonction affine non constante dont l'ordonnée à l'origine n'est pas nulle (une fonction constante, elle, est paire).

Trois exemples et un contre-exemple

Fonction	Parité	Symétrie de la courbe
x²	Paire	Axe des ordonnées
1/x	Impaire	Origine du repère
x³	Impaire	Origine du repère
2x + 3	Ni paire ni impaire	Ni l’axe des ordonnées ni l’origine

Sur un domaine symétrique contenant 1 et −1, comparer f(1) et f(−1) peut fournir un contre-exemple à la parité et à l’imparité. S'ils sont égaux, la fonction est peut-être paire ; s'ils sont opposés, peut-être impaire ; sinon, elle n'est ni l'une ni l'autre, et c'est démontré.

Se tester : vrai ou faux ?

Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.

1.Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une seule image.Voir le corrigé
Vrai
C'est la propriété qui la définit ; sur un graphique, toute droite verticale coupe la courbe au plus une fois.
2.Un nombre ne peut avoir qu'un seul antécédent par une fonction.Voir le corrigé
Faux
L'unicité porte sur l'image, pas sur l'antécédent : par la fonction carré, 9 a deux antécédents, 3 et −3.
3.La fonction carré est paire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.Voir le corrigé
Vrai
Le carré d'un nombre et celui de son opposé sont égaux, ce qui se traduit graphiquement par cette symétrie.
4.La fonction inverse est décroissante sur l'ensemble des réels non nuls pris globalement.Voir le corrigé
Faux
Elle est décroissante sur chacune des deux branches, mais de −1 à 1 elle passe de −1 à 1 : l'ordre n'est pas inversé d'une branche à l'autre.
5.Dans l'écriture ax + b, le nombre b est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.Voir le corrigé
Vrai
Pour x égal à zéro, l'image vaut b : c'est l'ordonnée à l'origine.
6.Une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine n'est pas nulle est impaire.Voir le corrigé
Faux
Elle n'est pas impaire puisque f(0) = b n'est pas nul. Si elle est constante, elle est paire ; sinon, elle n'est ni paire ni impaire.

Textes de référence

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